競(jìng)賽專(zhuān)題講座平面幾何證明
競(jìng)賽專(zhuān)題講座平面幾何證明
【競(jìng)賽知識(shí)點(diǎn)撥】
1． 線(xiàn)段或角相等的證明
（1） 利用全等△或相似多邊形；
（2） 利用等腰△；
（3） 利用平行四邊形；
（4） 利用等量代換；
（5） 利用平行線(xiàn)的性質(zhì)或利用比例關(guān)系
（6） 利用圓中的等量關(guān)系等。
2． 線(xiàn)段或角的和差倍分的證明
（1） 轉(zhuǎn)化為相等問(wèn)題。如要證明a=bc，可以先作出線(xiàn)段p=bc，再去證明a=p，即所謂截長(zhǎng)補(bǔ)短，角的問(wèn)題仿此進(jìn)行。
（2） 直接用已知的定理。例如：中位線(xiàn)定理，Rt△斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；△的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和；圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半等等。
3． 兩線(xiàn)平行與垂直的證明
（1） 利用兩線(xiàn)平行與垂直的判定定理。
（2） 利用平行四邊形的性質(zhì)可證明平行；利用等腰△的三線(xiàn)合一可證明垂直。
（3） 利用比例關(guān)系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等。
【競(jìng)賽例題剖析】
【例1】從⊙O外一點(diǎn)P向圓引兩條切線(xiàn)PA、PB和割線(xiàn)PCD。從A點(diǎn)作弦AE平行于CD，連結(jié)BE交CD于F。求證：BE平分CD。
【分析1】構(gòu)造兩個(gè)全等△。
連結(jié)ED、AC、AF。
CF=DF△ACF≌△EDF
PAB=AEB=PFB
【分析2】利用圓中的等量關(guān)系。連結(jié)OF、OP、OB。
PFB=POB
注：連結(jié)OP、OA、OF，證明A、O、F、P四點(diǎn)共圓亦可。
【例2】△ABC內(nèi)接于⊙O，P是弧 AB上的一點(diǎn)，過(guò)P作OA、OB的垂線(xiàn)，與AC、BC分別交于S、T，AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN=NT。
【分析】只需證， PMPN=MSNT。
（2，4）△APM∽△PBN
PMPN=AMBN
（BNT=AMS，BTN=MAS）△BNT∽△SMA
MSNT=AMBN
【例3】已知A為平面上兩半徑不等的圓O1和O2的一個(gè)交點(diǎn)，兩外公切線(xiàn)P1P2、Q1Q2分別切兩圓于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分別為P1Q1、P2Q2的中點(diǎn)。求證：O1AO2=M1AM2。
【分析】設(shè)B為兩圓的另一交點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)BA交P1P2于C，交O1O2于M，則C為P1P2的中點(diǎn)，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM為M1M2的中垂線(xiàn)。
在O1M上截取MO3=MO2，則M1AO3=M2AO2。
故只需證O1AM1=O3AM1，即證。
由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。
【例4】在△ABC中，ABAC，A的外角平分線(xiàn)交△ABC的外接圓于D，DEAB于E，求證：AE=。
【分析】方法1、2AE=AB-AC
在BE上截取EF=AE，只需證BF=AC，連結(jié)DC、DB、DF，從而只需證△DBF≌△DCA
DF=DA，DBF=DCA，DFB=DAC
DFA=DAF=DAG。
方法2、延長(zhǎng)CA至G，使AG=AE，則只需證BE=CG
連結(jié)DG、DC、DB，則只需證△DBE≌△DCG
DE=DG，DBE=DCG，DEB=DGC=Rt。
【例5】ABC的頂點(diǎn)B在⊙O外，BA、BC均與⊙O相交，過(guò)BA與圓的交點(diǎn)K引ABC平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，交⊙O于P，交BC于M。
求證：線(xiàn)段PM為圓心到ABC平分線(xiàn)距離的2倍。
【分析】若角平分線(xiàn)過(guò)O，則P、M重合，PM=0，結(jié)論顯然成立。
若角平分線(xiàn)不過(guò)O，則延長(zhǎng)DO至D，使OD=OD，則只需證DD=PM。連結(jié)DP、DM，則只需證DMPD為平行四邊形。
過(guò)O作mPK，則DD,KP，DPK=DKP
BL平分ABC，MKBLBL為MK的中垂線(xiàn)DKB=DMK
DPK=DMK，DP∥DM。而D D∥PM，
DMPD為平行四邊形。
【例6】在△ABC中，AP為A的平分線(xiàn)，AM為BC邊上的中線(xiàn)，過(guò)B作BHAP于H，AM的延長(zhǎng)線(xiàn)交BH于Q，求證：PQ∥AB。
【分析】方法1、結(jié)合中線(xiàn)和角平分線(xiàn)的性質(zhì)，考慮用比例證明平行。
倍長(zhǎng)中線(xiàn)：延長(zhǎng)AM至M，使AM=MA，連結(jié)BA，如圖6-1。
PQ∥AB
ABQ=180HBA+BAH+CAP)= 180-90CAP=90BAP=ABQ
方法2、結(jié)合角平分線(xiàn)和BHAH聯(lián)想對(duì)稱(chēng)知識(shí)。
延長(zhǎng)BH交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于B，如圖6-2。則H為BB的中點(diǎn)，因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，連結(jié)HM，則HM∥B/C。延長(zhǎng)HM交AB于O，則O為AB的中點(diǎn)。延長(zhǎng)MO至M，使OM=OM，連結(jié)MA、MB，則AMBM是平行四邊形，
MP∥AM，QM∥BM。于是，，所以PQ∥AB。
【例7】菱形ABCD的內(nèi)切圓O與各邊分別切于E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線(xiàn)交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。
求證：MQ∥NP。（95年全國(guó)聯(lián)賽二試3）
【分析】由AB∥CD知：要證MQ∥NP，只需證AMQ=CPN，
結(jié)合C知，只需證△AMQ∽△CPN，AMCN=AQCP。
連結(jié)AC、BD，其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。設(shè)MN與⊙O切于K，連結(jié)OE、OM、OK、ON、OF。記ABO=，MOK=，KON=，則
EOM=，F(xiàn)ON=，EOF=2+2=180。
BON=90NOF-COF=90-=
CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM
又OCN=MAO，△OCN∽△MAO，于是，
AMCN=AOCO
同理，AQCP=AOCO。
【例8】ABCD是圓內(nèi)接四邊形，其對(duì)角線(xiàn)交于P，M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，過(guò)M、N分別作BD、AC的垂線(xiàn)交于K。求證：KPAB。
【分析】延長(zhǎng)KP交AB于L，則只需證PAL+APL=90，
即只需證PDC+KPC=90，只需證PDC=PKF，
因?yàn)镻、F、K、E四點(diǎn)共圓，故只需證PDC=PEF，即EF∥DC。
△DME∽△CNF
【例9】以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點(diǎn)D、E。過(guò)D、E作BC的垂線(xiàn)，垂足分別是F、G，線(xiàn)段DG、EF交于點(diǎn)M。求證：AMBC。
【分析】連結(jié)BE、CD交于H，則H為垂心，故AHBC。（同一法）
設(shè)AHBC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面證M1、M2重合。
OM1∥DFOM1=。
OM2∥EGOM2=。
只需證OGDF=EGOF，即Rt△OEG∽R(shí)t△ODFDOF=DHB=EHC=EOG。
[標(biāo)簽：推理與證明,幾何,幾何問(wèn)題,講座]
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