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（合集）等式的性質教學設計
作為一位杰出的教職工，可能需要進行教學設計編寫工作，教學設計以計劃和布局安排的形式，對怎樣才能達到教學目標進行創造性的決策，以解決怎樣教的問題。那么什么樣的教學設計才是好的呢？以下是小編精心整理的等式的性質教學設計，僅供參考，大家一起來看看吧。
等式的性質教學設計1
〔教學目標〕
1、了解等式的概念；
2、利用天平的經驗分析得出等式的性質；
3、會利用等式的性質解方程。
〔重點難點〕
等式的性質和運用是重點；利用天平經驗抽象出等式的性質是難點。 〔教學方法〕指導探究，合作交流
〔教學資源〕
多媒體設備
〔教學過程〕
一、問題導入
我們知道未知數的某個值是方程的解，但怎樣才能知道方程的解是什么呢？方程是含有未知數的等式，我們先來看看等式有什么性質。
二、等式及其性質
1、等式
用等號表示相等關系的式子叫等式。如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。 注意：等式中一定含有等號。
我們可以用a=b來表示一般的等式。
2、等式的性質
觀察天平的變化，你能發現了什么？
在平衡天平的兩邊都加上（或減去）同樣的量，天平還保持平衡。
如果把天平看成等式，球和正方體看成數或式，那么你能得到什么結論？
等式性質1等式兩邊加上（或減去）同一個數（或式子），結果仍相等。 用字母表示為：如果a=b，那么a±c=b±c×3÷3觀察天平的變化，你能發現了什么？
把平衡天平的兩邊都擴大（或縮小）相同的'倍數，天平仍保持平衡。
同樣地，如果把天平看成等式，球和正方體看成數，那么你能得到什么結論？ 等式性質2 等式兩邊乘以同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。 用字母表示為：如果a=b，那么ac=bc；如果a=b，那么a／c=b／c（c≠０）。
注意：①等式兩邊除以一個數時，這個數必須不為０；②對等式變形必須同時進行，且是同一個數或式。
思考：回答下列問題：
（１）從a+b=b+c，能否能到a=c，為什么？
（2）從a-b=b-c，能否能到a=c，為什么？
（１）從ab=bc，能否能到a=c，為什么？
（１）從a/b=c/b，能否能到a=c，為什么？
（１）從xy=1，能否能到x=1/y，為什么？
三、例題
例1 利用等式的性質解下列方程：
（1）x+7=26;(2)-5x=20;(3)-1/3x-5=4.
分析：解方程的結果就是將方程轉化為x=a的形式，為此，解方程就要將未知項移到一邊，常數項移到另一邊。
解：（１）將常數項移到右邊，得
x=26－7
化為x=a的形式，得 x=１９。
（２）化為x=a的形式，得
x=20／－５ 于是x=－４。
（３）將常數項移到右邊，得
-1/3x=4＋５即-1/3x=９
化為x=a的形式，得
x=９×（－３）于是x=－２７。
四、課堂練習
課本８４面練習（１）～（４）。
五、課堂小結
１、等式和等式的性質。
２、運用等式的性質解方程。
作業：
課本８５面３、４、７、８。
課外閱讀８６面《“方程”史話》
六、板書設計: 等式的性質
一、等式及其性質
二、例題
三、練習
等式的性質教學設計2
一、教材分析
1、本節課的地位、作用和意義
基本不等式又稱為均值不等式，選自普遍高中課程標準實驗教科書(北京師范大學出版社出版)必修5，第3章第3節內容。學生在初中學習了完全平方公式、圓、初步認識了不等式，同時，在本章前面兩節學習了比較大小、一元二次不等式等，這些給本節課提供了堅實的基礎；基本不等式是后面基本不等式與最大（小）值的基礎，在高中數學中有著比較重要的地位，在工業生產等有比較廣的實際應用。
2、本節課的教學重點和難點
我通過解讀新課標和分析教材，認為：
重點：通過對新課程標準的解讀，教材內容的解析，我認為結果固然重要，但數學學習過程更重要，它有利于培養學生的數學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣的應用，需重點掌握，而掌握均值不等式，關鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式以及其成立的條件也是教學重點。
突出重點的方法：我將采用①用分組討論，多媒體展示、引導啟發法來突出均值不等式的推導；用重復法（在課堂的每一環節，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學來突出均值不等式及其成立的條件。
難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常出錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節課的難點。
突破難點的方法：我將采用用重復法（在課堂的`每一環節，以各種方式進行強調均值不等式和其成立的條件），變式教學等等來突破均值不等式成立的條件這個難點。
二、教學目標分析
1、知識與技能目標
（2）理解的幾何意義。
（3）能3分鐘內寫出基本不等式，并說明其成立的條件，準確率為95%
2、過程方法與能力目標
（1）探索并了解均值不等式的證明過程。
（2）體會均值不等式的證明方法。
3、情感、態度、價值觀目標
（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養探索、研究精神。
（2）通過對均值不等式成立的條件的分析，養成嚴謹的科學態度，勇于提出問題、分析問題的習慣。“探究”基本不等式的證明（1）
【三維目標】：
一、知識與技能
1.探索并了解基本不等式的證明過程，體會證明不等式的基本思想方法；
2.會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題；
二、過程與方法
三、情感、態度與價值觀
1.通過本節的學習，體會數學來源于生活，提高學習數學的興趣
【教學重點與難點】：
【學法與教學用具】：
2.教學用具：直角板、圓規、投影儀（多媒體教室）
【授課類型】：新授課
【課時安排】：1課時
【教學思路】：
一、創設情景，揭示課題
1.提問：與哪個大？
2.基本不等式的幾何背景：
如圖是在北京召開的第24界國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系嗎？（教師引導學生從面積的關系去找相等關系或不等關系）。
二、研探新知
重要不等式：一般地，對于任意實數、，我們有，當且僅當時，等號成立。
證明:
所以
等式的性質教學設計3
一、教材分析
等式的基本性質是學生在剛剛認識了等式與方程的基礎上進行教學的。它是系統學習方程的開始，其核心思想是構建等量關系的數學模型。本節課的學習是學生在實驗的基礎上，掌握等式的兩個基本性質，引導學生通過比較，發現規律，并為今后運用等式的基本性質解方程打基礎。同時培養學生數學思維能力。
二、教學目標：
知識與技能：理解并能用語言表述等式的基本性質，能用等式的基本性質解決簡單問題。
過程與方法：在用算式表示實驗結果、討論、歸納等活動中，經歷探索等式基本性質的過程。
情感態度價值觀：積極參與數學活動，體驗探索等式基本性質過程的挑戰性和數學結論的確定性。
三、教學重點是：
引導學生探索發現等式的基本性質，利用等式的基本性質解決簡單問題。
教學難點是抽象歸納出等式的基本性質。
四、教學程序（分三部分教學）
（一）聯系實際，激趣引入
首先激發探究興趣：提出問題：“同學們，你用天平做過游戲嗎？”這節課我們就利用天平一起來探索天平游戲中所包含的數學知識。”
（二）自主探索，合作交流
學習等式的基本性質1
1、具體情境，感受天平平衡
利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察，用語言來描述發現，與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括，使學生記憶深刻，充分體現了學生為主體，教師為主導的原則。
圖1、圖2的教學模式：先讓學生觀察，問：你發現了什么？然后提問：怎樣變換，能使天平仍然保持平衡呢？待學生思考片刻，再進一步提問：往兩邊各放1個杯子，天平會發生什么變化？生口答，驗證。接下去，繼續提問：如果兩邊各放上2個茶杯，天平還會保持平衡嗎？兩邊各放上同樣的一把茶壺呢？生答，再一一演示驗證。
圖3、圖4的教學模式和前面一樣。
板書如下：
2、總結抽象，認識規律
通過上面的觀察，先用一句話歸納圖1和圖2的內容。（1、等式的兩邊都加上或減去相同的數，等式不變。）再以第一句話為基礎歸納出圖3和圖4的內容。（2、等式的兩邊都乘或除以相同的`數（0除外）等式不變。）
教師指出這是等式的一個非常重要的性質。板書：等式的基本性質
（三）鞏固練習，深化認識
練習題的設計，低起點，小臺階，循序漸進，符合學生接受知識的特點，培養了學生的靈活性，使學生獲得成功的滿足感。
1、根據圖（1）在下面每幅圖的括號里填上適當的符號或數字，使天平平衡。
2、課堂作業。(當堂完成)
填一填。（a、b均不為0）
（1） 如果x+a=b,那么x+a－a=b○
（2） 如果x－a=b,那么x－a+a=b○
（3） 如果ax=b,那么a x÷a=b○
（4） 如果x÷a =b,那么x÷a×a=b○
3、拓展訓練。
五、最后，關注學生的學習體會和感受，提出：通過本節課的學習你有什么收獲？
等式的性質教學設計4
[教學內容]
五年級下冊第3～5頁例3、例4，“試一試”和“練一練”，練習一第4～6題。
[教材簡析]
這部分內容主要引導學生通過觀察、思考和交流，初步理解“等式兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果仍然是等式”這一等式的兩條基本性質之一，初步學會運用這一性質解只含有加、減關系的一步方程。在此之前，學生已經初步認識了等式與方程；在此之后，學生還將學習等式的另一條基本性質。學好這部分內容，有利于學生加深對方程特點的認識，體會初步的方程思想。教材在安排這部分內容時，主要有兩個特點，一是借助直觀幫助學生理解等式的性質；二是對解方程的步驟及規范做了較為細致的處理。設計教學時，教材一方面注意通過天平兩邊物體質量的變化以及變化前后天平兩邊的狀態，引導學生理解相關的等式性質；另一方面則注意充分利用學生已有的知識和經驗，引導他們在用不同方法求未知數的過程中初步體會用等式性質解方程的便捷，并掌握相應的方法。
[教學目標]
1.使學生在具體情境中初步理解“等式兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果仍然是等式”，會用這一性質解相關的方程。
2.使學生聯系具體的例子初步理解“方程的解”和“解方程”的含義，知道“方程的解”是一個結果，“解方程”是一個過程。
3.使學生在觀察、分析、抽象、概括等式的基本性質和交流的過程中，積累活動經驗，感受方程思想，培養自覺檢驗的意識，發展初步的抽象思維能力。
[教學重點]
引導學生探索等式的性質，利用等式性質解相關的方程。
[教學難點]
結合具體情境，抽象歸納出“等式兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果仍然是等式”這一等式的性質。
[教學過程]
一、先扶后放，探究等式性質
1.談話：我們已經認識了等式和方程。這節課，我們進一步學習與等式和方程有關的知識。
2.出示例3第一幅天平圖，提問：你能根據圖意寫出一個等式嗎？
根據學生的回答，板書：20=20。
引導：現在的天平是平衡的。如果在天平的一邊添上一個10克的砝碼，這時天平會怎樣？（失去平衡）要使天平恢復平衡，可以怎么辦？（在天平的另一邊也添上一個10克的砝碼）
根據學生的回答，出示第二幅天平圖。
提出要求：現在天平平衡嗎？你能再用一個等式表示現在天平兩邊物體質量的關系嗎？同桌同學先互相說一說。
學生活動后，板書：20＋10＝20＋10。
啟發：請同學們比較這里的兩幅天平圖和相應的兩個等式，想一想，第二個等式和第一個等式相比，發生了怎樣的變化？從這樣的變化中你能想到什么？
3.出示例3第二組天平圖，提出要求：請同學們仔細觀察這里的兩幅天平圖，說一說天平兩邊物體的質量各是怎樣變化的。
學生回答后，進一步要求：你能根據天平兩邊物體質量的變化情況，分別列出一個等式嗎？
學生交流后板書：x＝50，x＋20＝50＋20。
啟發：比較這里的兩個等式，它們有什么聯系和區別？你又發現了什么？
學生討論后明確：等式兩邊同時加上同一個數，所得結果仍然是等式。
【設計說明：第一組天平圖分步出示，第二組天平圖整體出示，有利于學生了解觀察活動的意圖，把握觀察和比較的重點，也有利于他們在此過程中逐步發現規律，并進行必要的抽象概括。】
4.啟發猜想：如果等式兩邊同時減去一個相同的數，結果會怎樣呢？你能想辦法驗證自己的猜想嗎？分小組討論討論。
出示例3第三組和第四組天平圖，啟發學生觀察比較，分別說一說這兩組天平中物體的質量各是怎樣變化的。在此基礎上，引導他們用等式分別表示每個天平兩邊物體變化前與變化后的關系。
學生活動后組織交流，并板書相應的等式：
70＝70，70－20＝70－20
x＋20＝70，x＋20－20＝70－20。
啟發：請同學們比較這里的兩組天平圖和相應的兩組等式，它們的變化有什么共同特點？
明確：等式兩邊同時減去同一個數，所得結果仍然是等式。
5.提出要求：剛才我們通過觀察天平圖，得到了兩個結論。你能把這兩個結論用一句話合起來說一說嗎？
學生交流后揭示：等式兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。
6.做教科書第4頁“練一練”第1題。
先讓學生獨立完成，再指名說說填空的依據。
【設計說明：有了“等式兩邊同時加上同一個數，結果仍然是等式”這一結論，通常不難聯想到“等式兩邊同時減去同一個數，結果仍然是等式”。先放手讓學生去猜想，再引導他們想辦法驗證猜想，既留出了充分探索的空間，又體現了探索性學習的基本方法。學生探索后的觀察、比較，以及相應的抽象、概括，既是對此前猜想的進一步驗證，又是對相關等式性質的進一步感知，能為學生建立正確的理解提供堅實的基礎。讓學生及時應用等式性質進行填空練習，一方面是為了鞏固知識，另一方面也為接下來學習解方程做些鋪墊。】
二、師生合作，學習解方程
1.出示例4的天平圖，提出要求：你能根據天平兩邊物體質量的相等關系列出方程嗎？
根據學生的回答，板書：x＋10＝50。
啟發：怎樣才能求出方程中未知數x的值呢？你打算怎么做？把你的想法和小組里的同學商量商量。
學生活動后，組織交流，重點突出把方程兩邊都減去10，使方程左邊只剩下x。
2.介紹并示范解方程的過程：求方程中未知數x的值 時，要先寫“解：”，表示下面的過程是求未知數x的.值的過程。再根據等式的性質在方程兩邊都減去10，求出方程中未知數x的值。書寫這一過程時，要注意把等號上下對齊。
引導：x＝40是不是正確的答案呢？我們可以通過檢驗來判斷，把x＝40代入原方程，看看左右兩邊是不是相等。
提問：如果等式的左右兩邊相等，說明什么？（答案是正確的）如果不相等呢？（說明答案是錯誤的）請同學們用這樣的方法試著檢驗一下。（隨學生的回答扼要板書檢驗過程）
3.引導小結：像x＝40這樣，能使方程左右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解。而求方程的解的過程，叫做解方程。進一步要求：請同學們回憶剛才解方程的過程，你認為解方程時要注意什么？強調三點：正確應用等式性質、注意書寫規范、主動進行檢驗。
4.指導完成“試一試”：解方程x－30＝80。
揭示：要使方程的左邊只剩下x，可以怎么做？這樣做的依據是什么？
組織反饋時，注意提醒學生規范地書寫解方程的過程。
5.做教科書第4頁“練一練”第2題。
提問：解這里的方程時，分別怎樣做就可以使方程左邊只剩下x？
要求：請同學們用這樣的方法求出每道方程的解，并進行檢驗。
交流時讓學生再說一說解每道方程時第一步分別是怎樣做的，又是怎樣檢驗的。要求他們今后解方程時，都要進行檢驗，但檢驗的過程可以寫下來，也可以不寫。
【設計說明：學生看圖列出方程后，先鼓勵他們充分利用已有的知識經驗自主探索求未知數x值的方法，再通過師生對話、示范板書，重點介紹用等式性質解方程的步驟和方法，既有利于保持學生主動學習的熱情，體現解決問題策略的多樣化，又有利于突出等式性質的應用。】
三、鞏固練習，內化新知
1.出示選擇題：
（1）x＋22＝78（x＝100，x＝56）
（2）x－2.5＝2.5（x＝0，x＝5）
說明：在每題的括號中有兩個備選答案，其中一個是左邊方程的解，另一個不是。
提出要求：你能在方程的解下面畫上橫線嗎？學生完成后組織交流，并相機明確：做出選擇時，可以先把左邊的方程解出來，也可以把兩個備選答案分別代入原方程從而確定哪個答案是方程的解。
2.做練習一第4題。
先讓學生說說每道方程中，要使左邊只剩下x，應該怎樣做？
3.做練習一第5題。
先讓學生獨立完成，再指名說說解方程時分別應用了等式的什么性質。
4.做練習一第6題。
先指名說說圖意，再組織學生交流推理過程。提醒學生：可以先在天平兩邊去掉相同個數的梨或橘子。
【設計說明：通過有層次、有針對性的練習，既使學生加深了對等式性質的理解，又使他們進一步體會“方程的解”和“解方程”等概念的實際意義，同時也突出解方程這一重點。】
四、全課總結，體驗收獲
通過今天這節課的學習，你知道了什么，學會了什么？有哪些收獲，還有什么不懂的問題？
[資料鏈接] 阿爾·花拉子米是阿拉伯的一位偉大的數學家，因為他在代數學方面做出過巨大貢獻，后人稱他為“代數學之父”。《還原和對消計算》是花拉子米著名的代數學著作。“還原”的意思是說在方程的一邊去掉一項就必須在另一邊加上這一項使之恢復平衡；“對消”是指把方程兩端的項消去或合并。例如，對方程5x－12＝4x－9兩邊分別加上12和9，做還原運算，得：5x＋9＝4x＋12；兩邊分別減去4x和9，做對消運算，結果得：x＝3。容易看出，所謂還原和對消就相當于現在解方程時的移項和合并同類項。
等式的性質教學設計5
教具準備：
天平及相關物品。(也可以將插圖制作成課件讓學生逐步觀察思考)
教學過程：
一、導入新課：同學們用天平做過實驗嗎?今天我們就要用天平去發現一些重要的規律，有信心嗎?
二、新知探究
(一)探尋發現“天平保持平衡的規律1”。
第一步，出示天平，左盤放一茶壺，右盤放兩茶杯，天平保持平衡。問：這說明什么?如果設一把茶壺重a克，1個茶杯重b克，則可以用一個等式來表示：即a=2b(板)，
第二步，問：想一想，怎樣變換能使天平仍然保持平衡呢?待學生思考片刻，進而問：往兩邊各放一個茶杯，天平會發生什么變化?教師演示加以驗證，在已平衡的天平兩邊同時增加一個相同的杯子，天平保持平衡。這個過程可以表示為a+b=2b+b 。
第三步，問：如果兩邊各放上2個茶杯，天平還保持平衡?兩邊各放上同樣的一個茶壺呢?學生回答后，老師一一演示驗證。
第四步，想一想，怎樣變換能使天平保持平衡?天平兩邊增加同樣的物品，天平保持平衡。如果天平兩邊減少同樣的物品，天平會保持平衡嗎?
第五步，在第三步的基礎上同時減少一個茶壺，天平保持平衡，用式子表示就是2a-a=2b+a-a 。因此天平保持平衡的規律概括起來可以怎么說?天平兩邊增加或減少同樣的物品，天平會保持平衡。(課件)
第六步，應用，進一步驗證。展示數學書P55頁第2幅圖的場景，1個花盆和幾個花瓶同樣重呢?該怎么辦?兩邊同時減少一個花瓶，天平保持平衡。
(二)探尋發現“天平保持平衡的規律2”。
第一步，出示天平，左盤放一瓶墨水，右盤放兩個鉛筆盒，天平保持平衡。一瓶墨水等于兩個鉛筆盒的質量，如果設一瓶墨水重c克，1個鉛筆盒重d克，則可以用一個等式來表示：即c=2d(板)，
第二步，問：想一想，如果在左邊再放上1瓶墨水，右邊再放上2個鉛筆盒，天平還保持平衡嗎?驗證，天平兩邊加的東西不同，數量也不同，為什么還能保持平衡呢?學生可能會說，因為兩邊增加的質量相同，肯定;同時引導，天平左邊的質量在原來的基礎上發生了什么變化?(擴大了2倍)，右邊呢?(也擴大了兩倍)因此，天平兩邊盡管所增加的東西不同，數量不同，但兩邊質量所發生的變化是相同的，都擴大了2倍，所以天平仍然保持平衡。用式子表示就是c×2=2d×2 。
第三步，剛才的演示反過來，就是天平兩邊同時縮小相同的倍數，天平保持平衡，用式子表示就是2c÷2=4d÷2。因此，天平除了在兩邊同時增加或減少同樣的物品會保持平衡外，還可怎么變換也可以保持平衡?歸納得出：天平兩邊物品的質量同時擴大或縮小相同的倍數，天平保持平衡。[
第四步，進一步驗證，出示P56的`情景，問要求1個排球和幾個皮球同樣重該怎么辦?兩邊質量同時縮小2倍，即把兩邊的球都平均分成2份，保留其中的一份，按其操作，天平保持平衡，得出結論：1個排球和3個皮球同樣重。
(三)小結天平保持平衡的變換規律，引出等式不變的規律。
通過剛才的實驗，我們發現了什么，誰來總結一下。
得出天平保持平衡的變換規律：
(1)天平兩邊同時增加或減少同樣的物品，天平保持平衡;
(2)天平兩邊的質量同時擴大或縮小相同的倍數，天平保持平衡。
老師引導：我們可以發現，天平保持平衡時可以用一個等式來表示，當天平兩邊發生變化時，等式的兩邊也在發生變化，天平保持平衡，等式也保持不變。從天平保持平衡的規律，我們可以發現等式保持不變的規律嗎?想一想，四人小組討論。
交流，發現：等式保持不變的規律：
(1)等式兩邊都加上或減去相同的數，等式保持不變;
(2)等式兩邊都乘或除以相同的數(0除外)，等式不變。
三、練習。
實物演示并判斷：(準備8袋花生，4袋鹽)
天平兩端分別放有一袋500克的鹽和兩袋250克的花生。
1、當兩邊各增加3袋同樣的花生(250克/袋)時，天平是否保持平衡?為什么?
2、在“1”的基礎上，現在將把天平兩端的東西減少，怎樣變化?可使天平依然保持平衡?怎么想的?(可抽學生上臺動手操作。)
3、假如天平兩端只能加與先前完全一樣的東西，要保持平衡可以怎么做?怎么想的?
4、一端放有兩袋1千克的白糖，另一端放有4袋500克的鹽，問一袋白糖與幾袋鹽同樣重，怎么想的?
四：小結。
有什么收獲?還有什么問題?
教學內容：數學書P55-56及“做一做”。
教學目標：
1、通過天平演示保持平衡的幾種變換情況，讓學生初步認識等式的基本性質。
2、利用觀察天平保持平衡所發現的規律能直接判斷天平變化后能否保持平衡。
3、培養學生觀察與概括、比較與分析的能力。
等式的性質教學設計6
教學分析
本節課的研究是對初中不等式學習的延續和拓展，也是實數理論的進一步發展。在本節課的學習過程中，將讓學生回憶實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小。
通過本節課的學習，讓學生從一系列的具體問題情境中，感受到在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，并充分認識不等關系的存在與應用。對不等關系的相關素材，用數學觀點進行觀察、歸納、抽象，完成量與量的比較過程。即能用不等式或不等式組把這些不等關系表示出來。
在本節課的學習過程中還安排了一些簡單的、學生易于處理的問題，其用意在于讓學生注意對數學知識和方法的應用，同時也能激發學生的學習興趣，并由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望。根據本節課的教學內容，應用再現、回憶得出實數的基本理論，并能用實數的基本理論來比較兩個代數式的大小。
在本節教學中，教師可讓學生閱讀書中實例，充分利用數軸這一簡單的數形結合工具，直接用實數與數軸上點的一一對應關系，從數與形兩方面建立實數的順序關系。要在溫故知新的基礎上提高學生對不等式的認識。
三維目標
1.在學生了解不等式產生的實際背景下，利用數軸回憶實數的基本理論，理解實數的大小關系，理解實數大小與數軸上對應點位置間的關系。
2.會用作差法判斷實數與代數式的大小，會用配方法判斷二次式的大小和范圍。
3.通過溫故知新，提高學生對不等式的認識，激發學生的學習興趣，體會數學的奧秘與數學的結構美。
重點難點
教學重點：比較實數與代數式的大小關系，判斷二次式的大小和范圍。
教學難點：準確比較兩個代數式的大小。
課時安排
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛星、飛船和一幅山巒重疊起伏的壯觀畫面，它將學生帶入“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使學生在具體情境中感受到不等關系在現實世界和日常生活中是大量存在的，由此產生用數學研究不等關系的強烈愿望，自然地引入新課。
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路程的遠近、百米賽跑的時間、數學成績的多少等現實生活中學生身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數量上存在的不等關系。這些不等關系怎樣在數學上表示出來呢？讓學生自由地展開聯想，教師組織不等關系的相關素材，讓學生用數學的觀點進行觀察、歸納，使學生在具體情境中感受到不等關系與相等關系一樣，在現實世界和日常生活中大量存在著。這樣學生會由衷地產生用數學工具研究不等關系的愿望，從而進入進一步的探究學習，由此引入新課。
推進新課
新知探究
提出問題
1回憶初中學過的不等式，讓學生說出“不等關系”與“不等式”的異同。怎樣利用不等式研究及表示不等關系？
2在現實世界和日常生活中，既有相等關系，又存在著大量的不等關系。你能舉出一些實際例子嗎？
3數軸上的任意兩點與對應的兩實數具有怎樣的關系？
4任意兩個實數具有怎樣的關系？用邏輯用語怎樣表達這個關系？
活動：教師引導學生回憶初中學過的不等式概念，使學生明確“不等關系”與“不等式”的異同。不等關系強調的是關系，可用符號“>”“b”“a
教師與學生一起舉出我們日常生活中不等關系的例子，可讓學生充分合作討論，使學生感受到現實世界中存在著大量的不等關系。在學生了解了一些不等式產生的實際背景的前提下，進一步學習不等式的有關內容。
實例1：某天的天氣預報報道，最高氣溫32 ℃，最低氣溫26 ℃.
實例2：對于數軸上任意不同的兩點A、B，若點A在點B的左邊，則xA
實例3：若一個數是非負數，則這個數大于或等于零。
實例4：兩點之間線段最短。
實例5：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
實例6：限速40 km/h的路標指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度v不超過40 km/h.
實例7：某品牌酸奶的質量檢查規定，酸奶中脂肪的含量f應不少于2.5%，蛋白質的含量p應不少于2.3%.
教師進一步點撥：能夠發現身邊的數學當然很好，這說明同學們已經走進了數學這門學科，但作為我們研究數學的人來說，能用數學的眼光、數學的觀點進行觀察、歸納、抽象，完成這些量與量的比較過程，這是我們每個研究數學的人必須要做的，那么，我們可以用我們所研究過的什么知識來表示這些不等關系呢？學生很容易想到，用不等式或不等式組來表示這些不等關系。那么不等式就是用不等號將兩個代數式連結起來所成的式子。如-71+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等。
教師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來。實例1，若用t表示某天的氣溫，則26 ℃≤t≤32 ℃.實例3，若用x表示一個非負數，則x≥0.實例5|AC|+|BC|>|AB|，如下圖。
|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.
|AB|-|BC|
實例6，若用v表示速度，則v≤40 km/h.實例7，f≥2.5%，p≥2.3%.對于實例7，教師應點撥學生注意酸奶中的脂肪含量與蛋白質含量需同時滿足，避免寫成f≥2.5%或p≥2.3%，這是不對的。但可表示為f≥2.5%且p≥2.3%.
對以上問題，教師讓學生輪流回答，再用投影儀給出課本上的兩個結論。
討論結果：
(1)(2)略；(3)數軸上任意兩點中，右邊點對應的實數比左邊點對應的實數大。
(4)對于任意兩個實數a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b
應用示例
例1(教材本節例1和例2)
活動：通過兩例讓學生熟悉兩個代數式的大小比較的基本方法：作差，配方法。
點評：本節兩例的求解，是借助因式分解和應用配方法完成的`，這兩種方法是代數式變形時經常使用的方法，應讓學生熟練掌握。
變式訓練
1.若f(x)=3x2-x+1，g(x)=2x2+x-1，則f(x)與g(x)的大小關系是( )
A.f(x)>g(x) B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案：A
解析：f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0，∴f(x)>g(x).
2.已知x≠0，比較(x2+1)2與x4+x2+1的大小。
解：由(x2+1)2-(x4+x2+1)=x4+2x2+1-x4-x2-1=x2.
∵x≠0，得x2>0.從而(x2+1)2>x4+x2+1.
例2比較下列各組數的大小(a≠b).
(1)a+b2與21a+1b(a>0，b>0);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動：比較兩個實數的大小，常根據實數的運算性質與大小順序的關系，歸結為判斷它們的差的符號來確定。本例可由學生獨立完成，但要點撥學生在最后的符號判斷說理中，要理由充分，不可忽略這點。
解：(1)a+b2-21a+1b=a+b2-2aba+b=a+b2-4ab2a+b=a-b22a+b.
∵a>0，b>0且a≠b，∴a+b>0，(a-b)2>0.∴a-b22a+b>0，即a+b2>21a+1b.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2].
∵2a2+(a+b)2≥0(當且僅當a=b=0時取等號)，又a≠b，∴(a-b)2>0,2a2+(a+b)2>0.∴-(a-b)2[2a2+(a+b)2]
∴a4-b4
點評：比較大小常用作差法，一般步驟是作差——變形——判斷符號。變形常用的手段是分解因式和配方，前者將“差”變為“積”，后者將“差”化為一個或幾個完全平方式的“和”，也可兩者并用。
變式訓練
已知x>y，且y≠0，比較xy與1的大小。
活動：要比較任意兩個數或式的大小關系，只需確定它們的差與0的大小關系。
解：xy-1=x-yy.
∵x>y，∴x-y>0.
當y
當y>0時，x-yy>0，即xy-1>0.∴xy>1.
點評：當字母y取不同范圍的值時，差xy-1的正負情況不同，所以需對y分類討論。
例3建筑設計規定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積。但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，且這個比值越大，住宅的采光條件越好。試問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由。
活動：解題關鍵首先是把文字語言轉換成數學語言，然后比較前后比值的大小，采用作差法。
解：設住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b，同時增加的面積為m，根據問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mb-abb+m>0，于是a+mb+m>ab.又ab≥10%，因此a+mb+m>ab≥10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了。
點評：一般地，設a、b為正實數，且a0，則a+mb+m>ab.
變式訓練
已知a1，a2，…為各項都大于零的等比數列，公比q≠1，則( )
A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8
C.a1+a8=a4+a5 D.a1+a8與a4+a5大小不確定
答案：A
解析：(a1+a8)-(a4+a5)=a1+a1q7-a1q3-a1q4
=a1[(1-q3)-q4(1-q3)]=a1(1-q)2(1+q+q2)(1+q)(1+q2).
∵{an}各項都大于零，∴q>0，即1+q>0.
又∵q≠1，∴(a1+a8)-(a4+a5)>0，即a1+a8>a4+a5.
知能訓練
1.下列不等式：①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>2xy.其中恒成立的不等式的個數為( )
A.3 B.2 C.1 D.0
2.比較2x2+5x+9與x2+5x+6的大小。
答案：
1.C解析：∵②a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0，③x2+y2-2xy=(x-y)2≥0.
∴只有①恒成立。
2.解：因為2x2+5x+9-(x2+5x+6)=x2+3>0，所以2x2+5x+9>x2+5x+6.
課堂小結
1.教師與學生共同完成本節課的小結，從實數的基本性質的回顧，到兩個實數大小的比較方法；從例題的活動探究點評，到緊跟著的變式訓練，讓學生去繁就簡，聯系舊知，將本節課所學納入已有的知識體系中。
2.教師畫龍點睛，點撥利用實數的基本性質對兩個實數大小比較時易錯的地方。鼓勵學有余力的學生對節末的思考與討論在課后作進一步的探究。
作業
習題3—1A組3;習題3—1B組2.
設計感想
1.本節設計關注了教學方法的優化。經驗告訴我們：課堂上應根據具體情況，選擇、設計最能體現教學規律的教學過程，不宜長期使用一種固定的教學方法，或原封不動地照搬一種實驗模式。各種教學方法中，沒有一種能很好地適應一切教學活動。也就是說，世上沒有萬能的教學方法。針對個性，靈活變化，因材施教才是成功的施教靈藥。
2.本節設計注重了難度控制。不等式內容應用面廣，可以說與其他所有內容都有交匯，歷來是高考的重點與熱點。作為本章開始，可以適當開闊一些，算作拋磚引玉，讓學生有個自由探究聯想的平臺，但不宜過多向外拓展，以免對學生產生負面影響。
3.本節設計關注了學生思維能力的訓練。訓練學生的思維能力，提升思維的品質，是數學教師直面的重要課題，也是中學數學的主線。采用一題多解有助于思維的發散性及靈活性，克服思維的僵化。變式訓練教學又可以拓展學生思維視野的廣度，解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品質的提升。
備課資料
備用習題
1.比較(x-3)2與(x-2)(x-4)的大小。
2.試判斷下列各對整式的大小：(1)m2-2m+5和-2m+5;(2)a2-4a+3和-4a+1.
3.已知x>0，求證：1+x2>1+x .
4.若x
5.設a>0，b>0，且a≠b，試比較aabb與abba的大小。
參考答案：
1.解：∵(x-3)2-(x-2)(x-4)
=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)
=1>0，∴(x-3)2>(x-2)(x-4).
2.解：(1)(m2-2m+5)-(-2m+5)
=m2-2m+5+2m-5
=m2.
∵m2≥0，∴(m2-2m+5)-(-2m+5)≥0.
∴m2-2m+5≥-2m+5.
(2)(a2-4a+3)-(-4a+1)
=a2-4a+3+4a-1
=a2+2.
∵a2≥0，∴a2+2≥2>0.
∴a2-4a+3>-4a+1.
3.證明：∵(1+x2)2-(1+x)2
=1+x+x24-(x+1)
=x24，又∵x>0，∴x24>0.
∴(1+x2)2>(1+x)2.
由x>0，得1+x2>1+x.
4.解：(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)
=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]
=-2xy(x-y).
∵x0，x-y
∴-2xy(x-y)>0.
∴(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).
5.解：∵aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b，且a≠b，當a>b>0時，ab>1，a-b>0，則(ab)a-b>1，于是aabb>abba.
當b>a>0時，0
則(ab)a-b>1.
于是aabb>abb a.
綜上所述，對于不相等的正數a、b，都有aabb>abba.
等式的性質教學設計7
備教材內容
1．本課時學習的是教材64～65頁的內容。
2．本課時學習的是等式的性質。教材首先提出問題，引起學生的探究興趣。然后通過插圖描繪了天平平衡的實驗操作，引導學生通過比較發現規律，探究等式的兩個基本性質。連環畫式的插圖，一方面提示教師可以怎樣演示，另一方面也為學生思考、感悟天平保持平衡的變化規律提供了直觀的觀察材料。
3．本課時內容是在學生了解了方程意義的基礎上進行學習的，本課時的學習為今后運用等式的性質解方程打下了堅實的理論基礎。
等式的意義
表示相等關系的式子叫等式。例如：22＋7＝29。
方程的意義
含有未知數的等式就是方程。例如：2x＋4＝8。
知識與技能
1通過天平演示保持平衡的幾種變換情況，使學生初步認識等式的基本性質。
2．利用觀察天平保持平衡所發現的規律，能直接判斷天平發生變化后能否保持平衡。
過程與方法
經歷由天平秤物抽象出等式的性質的過程，體驗觀察、比較、分析的學習方法。
情感、態度與價值觀
1．培養學生認真觀察、積極思考的學習品質，增強學生的合作意識。
2．感受數學與實際生活的密切聯系，發展數學的應用意識。
備重點難點
重點：引導學生探索等式的性質。
難點：抽象歸納出等式的性質。
備知識講解
知識點一、等式的`性質1
問題導入：在平衡的天平兩邊同時加上或減去同樣的物品，天平會發生什么變化？(教材64頁)
過程講解：
1．實驗演示一：在平衡的天平兩邊同時加上同樣的物品
(1)天平的左邊放1把茶壺，天平的右邊放2個茶杯，天平平衡。
如果1把茶壺重ag，1個茶杯重bg，那么上述過程可以用等式表示為a＝2b。
(2)在(1)中天平的兩邊同時各放上1個同樣的茶杯，天平仍保持平衡。說明1把茶壺和1個茶杯與3個茶杯同樣重。
上述過程可以用等式表示為a＋b＝2b＋b。
(3)探究：如果天平兩邊同時各放上2個同樣的茶杯，天平還會保持平衡嗎？天平兩邊同時各放上同樣的1把茶壺呢？
實驗結果表明：天平兩邊同時各放上2個同樣的茶杯，天平仍保持平衡；天平兩邊同時各放上同樣的1把茶壺，天平仍保持平衡。上述過程可以用等式分別表示為a＋2b＝2b＋2b，a＋a＝2b＋a。
(4)觀察分析。
(5)發現：等式兩邊同時加上同一個數，左右兩邊仍然相等。
等式的性質教學設計8
教學目標：
1、在用算式表示試驗結果、討論、歸納等活動中，經歷探索等式基本性質的過程。
2、理解并能用語言表述等式的基本性質，能用等式的基本性質解決簡單問題。
3、積極參與數學活動，體驗探索等式基本性質過程的挑戰性和數學結論的確定性。
教學重難點：
理解并能用語言表述等式的基本性質，能用等式的基本性質解決簡單問題。
教學過程：
導入新課：
同學們用天平做過實驗嗎？今天我們就要用天平去發現一些重要的規律，有信心嗎？
二、新知探究
（一）探尋發現“天平保持平衡的規律1”。
第一步，出示天平，左盤放一茶壺，右盤放兩茶杯，天平保持平衡。問：這說明什么？如果設一把茶壺重a克，1個茶杯重b克，則可以用一個等式來表示：即a=2b（板），
第二步，問：想一想，怎樣變換能使天平仍然保持平衡呢？待學生思考片刻，進而問：往兩邊各放一個茶杯，天平會發生什么變化？教師演示加以驗證，在已平衡的天平兩邊同時增加一個相同的杯子，天平保持平衡。這個過程可以表示為a+b=2b+b 。
第三步，問：如果兩邊各放上2個茶杯，天平還保持平衡？兩邊各放上同樣的一個茶壺呢？學生回答后，老師一一演示驗證。
第四步，想一想，怎樣變換能使天平保持平衡？天平兩邊增加同樣的物品，天平保持平衡。如果天平兩邊減少同樣的`物品，天平會保持平衡嗎？
第五步，在第三步的基礎上同時減少一個茶壺，天平保持平衡，用式子表示就是2a-a=2b+a-a 。因此天平保持平衡的規律概括起來可以怎么說？天平兩邊增加或減少同樣的物品，天平會保持平衡。
第六步，應用，進一步驗證。展示數學書P55頁第2幅圖的場景，1個花盆和幾個花瓶同樣重呢？該怎么辦？兩邊同時減少一個花瓶，天平保持平衡。
（二）探尋發現“天平保持平衡的規律2”。
第一步，出示天平，左盤放一瓶墨水，右盤放兩個鉛筆盒，天平保持平衡。一瓶墨水等于兩個鉛筆盒的質量，如果設一瓶墨水重c克，1個鉛筆盒重d克，則可以用一個等式來表示：即c=2d（板），
第二步，問：想一想，如果在左邊再放上1瓶墨水，右邊再放上2個鉛筆盒，天平還保持平衡嗎？驗證，天平兩邊加的東西不同，數量也不同，為什么還能保持平衡呢？學生可能會說，因為兩邊增加的質量相同，肯定；同時引導，天平左邊的質量在原來的基礎上發生了什么變化？（擴大了2倍），右邊呢？（也擴大了兩倍）因此，天平兩邊盡管所增加的東西不同，數量不同，但兩邊質量所發生的變化是相同的，都擴大了2倍，所以天平仍然保持平衡。用式子表示就是c×2=2d×2 。
第三步，剛才的演示反過來，就是天平兩邊同時縮小相同的倍數，天平保持平衡，用式子表示就是2c÷2=4d÷2。因此，天平除了在兩邊同時增加或減少同樣的物品會保持平衡外，還可怎么變換也可以保持平衡？歸納得出：天平兩邊物品的質量同時擴大或縮小相同的倍數，天平保持平衡。
第四步，進一步驗證，出示P56的情景，問要求1個排球和幾個皮球同樣重該怎么辦？兩邊質量同時縮小2倍，即把兩邊的球都平均分成2份，保留其中的一份，按其操作，天平保持平衡，得出結論：1個排球和3個皮球同樣重。
（三）小結天平保持平衡的變換規律，引出等式不變的規律。
通過剛才的實驗，我們發現了什么，誰來總結一下。
得出天平保持平衡的變換規律：
天平兩邊同時增加或減少同樣的物品，天平保持平衡；
（2）天平兩邊的質量同時擴大或縮小相同的倍數，天平保持平衡。
老師引導：我們可以發現，天平保持平衡時可以用一個等式來表示，當天平兩邊發生變化時，等式的兩邊也在發生變化，天平保持平衡，等式也保持不變。從天平保持平衡的規律，我們可以發現等式保持不變的規律嗎？想一想，四人小組討論。
交流，發現：等式保持不變的規律：
等式的兩邊同時加上或減去同一個數，等式仍然成立；
（2）等式的兩邊同時乘或除以同一個數（除數不能為0），等式仍然成立。
三、試一試。
等式基本性質的直接應用，也使學生感知解方程的書寫格式，學習利用等式的基本性質進行推理。
四、練一練
五、小結。
有什么收獲？還有什么問題？
板書設計：
等式的基本性質
等式的兩邊同時加上或減去同一個數，等式仍然成立；
等式的兩邊同時乘或除以同一個數（除數不能為0），等式仍然成立。
教學后記：
從學生的反應來看，這種提出問題讓學生先猜測的教學方法，因為平時訓練的少，教師突然放手，學生不知所措，不知道如何去思考。由此可以看出，教師在教學中還存在包辦現象，學生還習慣于在老師的引導下去掌握新知，鞏固新知，然后學會解題。即學生的創新能力的培養還不夠，需要加強。
等式的性質教學設計9
知識與技能：
理解并掌握不等式的三個性質，能運用性質，用不等號連接某些代數式，進行不等式的變形。
過程與方法：
經歷自主學習，小組交流合作學習，以及課堂上的成果，培養學生自主分析問題，解決問題的能力，養成與他人交流，共同學習，共同進步的學習方法。
情感態度與價值觀：在自主分析，交流合作，成果的活動中，感受學習的樂趣，體會與人合作的快樂。
教學難點：
正確運用不等式的性質。
教學重點：
理解并掌握不等式的性質3。
教學過程：
一、創設情境引入新課
利用一臺平衡的天平提出問題，引入新課
1、給不平衡的天平兩邊同時加入相同質量的砝碼，天平會有什么變化？
2、不平衡的`天平兩邊同時拿掉相同質量的砝碼，天平會有什么變化？
3、如果對不平衡的天平兩邊砝碼的質量同時擴大相同的倍數，天平會平衡嗎？縮小相同的倍數呢？通過天平演示，結合自己的觀察和思考，讓學生感受生活中的不等關系。
二、合作交流探究新知
1、問題情景：數學老師比語文老師年齡小。
1、10年后誰的年齡大？
2、20年之后呢？
3、5年之前呢？
假設數學，語文兩位老師的年齡分別為a，b，則a
a+10
a+20
a—5
2、探索與發現
一組：已知5>3，則5+2 3+2
5—2 3—2
二組：已知—1
—1—33—3
想一想不等號的方向改變嗎？
3、歸納：不等式的性質1：
不等式兩邊都加（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變
如果a＜b，那么a+c
如果a＞b，那么a+c >b+c，a—c >b—c。
不等號方向不改變！
4、大膽猜想
不等式兩邊都加（或減去）同一個數，不等號方向不改變
不等式兩邊都加（或減去）同一個數，不等號方向不改變
不等式兩邊都乘（或除以）同一個數（不為零），不等號的方向呢？
5、探索與發現
已知4
一組：4×2 6×（—2）；
4÷26÷（—2）。
思考不等號方向改變嗎？
不等式兩邊都乘（或除以）一個不為零的數，不等號方向改不改變和什么有關？
6、不等式的性質2：
不等式兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。
如果a>b，且c>0，那么ac>bc，如果a0，那么ac
7、不等式的性質3：
不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。
如果a>b，且c
如果a
三、鞏固提高拓展延伸
例1：判斷下列各題的推導是否正確？為什么（學生口答）
（1）因為7.5＞5.7，所以—7.5＜—5.7；
（2）因為a+8＞4，所以a＞—4；
（3）因為4a＞4b，所以a＞b；
（4）因為—1＞—2，所以—a—1＞—a—2；
（5）因為3＞2，所以3a＞2a．
（1）正確，根據不等式基本性質3．
（2）正確，根據不等式基本性質1．
（3）正確，根據不等式基本性質2．
（4）正確，根據不等式基本性質1．
（5）不對，應分情況逐一討論．
當a＞0時，3a＞2a．（不等式基本性質2）
當a=0時，3a=2a．
當a＜0時，3a＜2a．（不等式基本性質3）
考考你！0>4，哪里錯了？
已知m>n，兩邊都乘以4，得4m>4n，兩邊都減去4m，得0>4n—4m，即0>4（n—m），兩邊同時除以（n—m），得0>4。
等式與不等式的性質
1、不等式的三個性質。
2、等式與不等式的性質對比。
先前后比較，再定不等號
四、總結歸納
1、等式性質與不等式性質的不同之處；
2、在運用“不等式性質3"時應注意的問題．學生通過總結，可以幫助自己從整體上把握本節課所學知識培養良好的學習習慣，也為下節課學好解不等式打下基礎。
五、布置作業
1、必做題：教科書第134頁習題9.1第4、5題
2、選做題：教科書第134頁習題9。 1第7題．
等式的性質教學設計10
教學目標
1．理解同向不等式，異向不等式概念；
2．掌握并會證明定理1，2，3；
3．理解定理3的推論是同向不等式相加法則的依據，定理3是移項法則的依據；
4．初步理解證明不等式的邏輯推理方法.
教學重點：定理1，2，3的證明的證明思路和推導過程
教學難點：理解證明不等式的邏輯推理方法
教學方法：引導式
教學過程
一、復習回顧
上一節課,我們一起學習了比較兩實數大小的方法,主要根據的是實數運算的符號法則,而這也是推證不等式性質的主要依據,因此，我們來作一下回顧：
這一節課，我們將利用比較實數的方法， 來推證不等式的性質.
二、講授新課
在證明不等式的性質之前,我們先明確一下同向不等式與異向不等式的概念.
1．同向不等式：兩個不等號方向相同的不等式，例如： 是同向不等式.
異向不等式：兩個不等號方向相反的不等式.例如： 是異向不等式.
2．不等式的性質：
定理1：若 ，則
定理1說明，把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向.在證明時，既要證明充分性，也要證明必要性.
證明
由正數的相反數是負數，得
說明：定理1的后半部分可引導學生仿照前半部分推證，注意向學生強調實數運算的符號法則的應用.
定理2：若 ，且 ，則 .
證明：
根據兩個正數的和仍是正數，得
∴ 說明：此定理證明的主要依據是實數運算的符號法則及兩正數之和仍是正數.
定理3：若 ，則
定理3說明，不等式的兩邊都加上同一個實數，所得不等式與原不等式同向.
證明
說明：
（1）定理3的證明相當于比較 與 的'大小，采用的是求差比較法；
（2）不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊移到另一邊，理由是：根據定理3可得出：若 ，則 即 .
定理3推論：若 .
證明:
說明：
（1）推論的證明連續兩次運用定理3然后由定理2證出；
（2）這一推論可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相加，即：兩個或者更多個同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；
（3）兩個同向不等式的兩邊分別相減時，就不能作出一般的結論；
（4）定理3的逆命題也成立.（可讓學生自證）
三、課堂練習
1．證明定理1后半部分；
2．證明定理3的逆定理.
說明：本節主要目的是掌握定理1，2，3的證明思路與推證過程，練習穿插在定理的證明過程中進行.
課堂小結
通過本節學習，要求大家熟悉定理1，2，3的證明思路，并掌握其推導過程，初步理解證明不等式的邏輯推理方法.
課后作業
1．求證：若
2．證明：若
板書設計
§6.1.2 不等式的性質
1．同向不等式 3.定理2 4.定理3 5.定理3
異向不等式
證明 證明 推論
2．定理1 證明 說明 說明 證明
第三課時
教學目標
1．熟練掌握定理1，2，3的應用；
2．掌握并會證明定理4及其推論1，2；
3．掌握反證法證明定理5.
教學重點：定理4，5的證明.
教學難點：定理4的應用.
教學方法：引導式
教學過程：
一、復習回顧
上一節課，我們一起
學習了不等式的三個性質，即定理1，2，3，并初步認識了證明不等式的邏輯推理方法，首先，讓我們來回顧一下三個定理的基本內容.
（學生回答）
好，我們這一節課將繼續推論定理4、5及其推論，并進一步熟悉不等式性質的應用.
二、講授新課
定理4：若
若
證明：
根據同號相乘得正，異號相乘得負，得
當
說明：（1）證明過程中的關鍵步驟是根據“同號相乘得正，異號相乘得負”來完成的；
（2）定理4證明在一個不等式兩端乘以同一個正數，不等號方向不變；乘以同一個負數，不等號方向改變.
推論1：若
證明：
①
又
∴ ②
由①、②可得 .
說明：（1）上述證明是兩次運用定理4，再用定理2證出的；
（2）所有的字母都表示正數，如果僅有 ，就推不出 的結論.
（3）這一推論可以推廣到任意有限個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘.這就是說，兩個或者更多個兩邊都是正數的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向.
推論2：若
說明：（1）推論2是推論1的特殊情形；
（2）應強調學生注意n∈N 的條件.
定理5：若
我們用反證法來證明定理5，因為反面有兩種情形，即 ，所以不能僅僅否定了 ，就“歸謬”了事，而必須進行“窮舉”.
說明：假定 不大于 ，這有兩種情況：或者 ，或者 .
由推論2和定理1，當 時，有 ；
當 時，顯然有
這些都同已知條件 矛盾
所以 .
接下來，我們通過具體的例題來熟悉不等式性質的應用.
例2 已知
證明：由
例3 已知
證明：∵
兩邊同乘以正數
說明：通過例3，例4的學習，使學生初步接觸不等式的證明，為以后學習不等式的證明打下基礎.在應用定理4時，應注意題目條件，即在一個等式兩端乘以同一個數時，其正負將影響結論.接下來，我們通過練習來進一步熟悉不等式性質的應用.
三、課堂練習
課本P7練習1，2，3.
課堂小結
通過本節學習，大家要掌握不等式性質的應用及反證法證明思路，為以后不等式的證明打下一定的基礎.
課后作業
課本習題6.1 4，5.
板書設計
§6.1.3 不等式的性質
定理4 推論1 定理5 例3 學生
內容 內容
證明 推論2 證明 例4 練習
等式的性質教學設計11
一、學情分析：作為初一學生（132班和137班）在小學時已經對等量關系和等式的性質有所了解，通過本節課的學習，目的是要使學生從天平的特點中歸納得出等式的性質。
二、說教材
1、教材所處的地位和作用
新課標對本節課的要求是：掌握等式的性質。在前面一節課的學習中，學生掌握了一元一次方程的概念和初步應用后，需要解決的是一元一次方程的解法。本節內容借助于等式的性質這一工具來解一元一次方程。首先，通過天平的實驗操作，使學生學會觀察。嘗試分析歸納等式的性質。然后，利用等式的性質解一元一次方程。通過解方程的學習提高學生的觀察問題、解決問題的能力。
2、教育教學目標。
根據以上對教材的理解與內容分析，考慮到學生已有的知識結構和心理特征，制定如下教學目標：
(1)知識與技能：探究等式的性質,并能利用等式的性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程.
(2)過程與方法：通過實驗培養學生探索能力、觀察能力，歸納能力和應用新知識的能力。
(3)情感態度價值觀：積極參與數學活動，體驗探索等式性質過程的挑戰性和數學結論的確定性，建立學生學好數學的信心。
3、教學重、難點
為了使學生能比較順利地達到教學目標，我確定了本節課的教學重、難點：
教學重點：探究等式的性質，能根據等式性質進行等式變形、解簡單的一元一次方程.
教學難點：利用等式的性質把簡單的一元一次方程變形為x=a(常數)的形式;正確理解等式性質2中除數不能為0.
4、教學準備：多媒體課件、小黑板
三、說教學策略
（一）教學手段：如何突出重點、突破難點，從而實現教學目標，我在教學過程中利用多媒體演示擬計劃進行如下操作：
1.讀（看）——議——講結合法。
2.圖表分析法。
3.讀圖討論法。
4.教學過程中堅持啟發式教學的原則。
（二）教學學法分析
堅持“以學生為主體，以教師為主導”的原則。即“以學生活動為主導，教師講述為輔，學生活動在前，教師點撥評價在后”的原則。根據初一學生的心理發展規律。聯系實際安排教學內容，采用學生參與高度的學導式討論教學法、師生交談法、圖象信號法、問答法、教學課堂討論法，使學生動口、主動探索、發現問題、解決問題、互動合作、歸納概括、形成能力，突出學生的主體地位。在采用問答法時，特別注重不同難度的問題。提問不同層次的學生面向全體，使基礎差的學生也有表現的機會，培養其自信心，激發學習熱情，有效開發各層次學生的潛在能力求使每個學生都在原有基礎上得到發展，同時通過課堂練習和課后作業啟發學生。在教學中要積極培養學生數學學習興趣和動機。明確學習目的，教師應在課堂上充分調動學生積極性，激發來自學生主體的最有力的動力。
實際上，青少年好動，注意力易分散，愛發表見解。希望得到老師的表揚所以在教學中應抓住學生這一生理特點。一方面運用直觀生動的形象，引發學生興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上。另一方面要創造條件和機會，讓學生發表見解，發揮學生學習的主動性。
四、教學過程分析
（一）導入新課、展示目標
首先我出了一些可以看出方程解的題目，讓學生回答，由易到難，激起學生學習的欲望，緊接著就引入等式的定義，從而使學生明白解方程先要研究等式，從而引入課題。
（二）自主探索、分組合作
由于學生的認知結構是由簡單到復雜，由具體到抽象的過程，因此在這一環節中，我分兩個方面來教學：等式的性質1由老師課件演示，學生觀察歸納概括；。
學習等式的'基本性質1
1、具體情境，感受天平平衡
我利用多媒體依次展示天平圖的各個操作。讓學生通過觀察，用語言來描述發現，與同桌交流。這樣由具體演示到抽象概括，使學生記憶深刻，充分體現了學生為主體，教師為主導的原則。
2、總結抽象，認識規律
通過上面的觀察，讓學生分組討論：如何用算式表示實驗結果？學生交流后，教師進行課件演示。
然后學生抽象概括出：等式兩邊同時加上同一個數，等式仍然成立。
教師指出這是等式的一個非常重要的性質。板書：等式的基性質
本節課，讓學生經歷一種從平衡到不平衡再到新的平衡的過程，體驗變化是怎樣產生的，怎樣從打破平衡，又怎樣達到新的平衡。從而培養了學生觀察能力和抽象概括能力。
3、提出假設，驗證規律
我接著提問：如果天平兩邊減去相同的質量，天平會有什么變化？
讓學生先獨立思考，然后教師課件演示。你又發現了什么規律？怎樣用等式描述？得出等式兩邊同時減去同一個數，等式仍然成立。
并且由以上兩條規律得出：等式的兩邊同時加上或減去同一個數，等式仍然成立。
4、再次設疑，深入驗證
如果在天平兩邊同時加上或減去不同的質量，天平會有什么變化？
學生經過思考得出：等式的兩邊加上或減去的必須是同一個數，才能使等式成立。這樣符合學生的認知規律，從實踐認識，再到實踐認識的過程。
學習等式的性質2
教師再用課件展示天平圖，學生通過觀察，歸納得出：等式兩邊同時乘或除以同一個數（除數不能為0），等式仍然成立。
等式基本性質2的推導在性質1的基礎上，讓學生自己通過觀察探究，運用知識的遷移得出，這樣培養了學生邏輯思維能力，抽象概括能力和口頭表達能力。
（一）匯報導學解疑釋難
等式的性質：(1)若a=b,則a±c=b±c
（2）若a=b，則ac=bc,
注意：（１）等式兩邊都要參加運算，且是同一種運算．
（２）等式兩邊加或減，乘或除以的數一定是同一個數或同一個式子．
（３）等式兩邊不能都除以０，即０不能作除數或分母．
在這個環節中把等式的兩個性質展示出來，我特別提到了三個注意：因為這是在等式性質解方程中容易出錯的地方，就是希望同學們認真細心，正確利用性質解題。
四、當堂訓練達標測評
我在練習中設計了三道題，從簡單的填空到判斷變形對錯，到最后的解方程，方程的四道題也是有簡單到復雜，總之練習題的設計，低起點，小臺階，循序漸進，符合學生接受知識的特點，是那些平時不舉手的同學也積極參與，竟然問題也答得很好。從這些方面培養了學生的靈活性，使學生獲得成功的滿足感。
小結：
用簡單的知識結構圖小結等式的性質
作業設計：
PPT投影出課本第83頁習題3.1第4題。
思考：
整個教學過程主要分兩部分：第一部分是等式的性質，我采用體驗探究的教學方式，首先由老師運用多媒體演示天平實驗，分別在天平兩側放上砝碼使天平保持平衡，并把實驗轉化為數學問題并列出數學式子；再讓學生所列的式子，提出問題：通過天平實驗所得到的式子你能聯想到等式有什么性質？由學生獨立思考歸納出等式的性質一和性質二，然后再把等式的性質抽象為數學的符號語言并表示出來。最后通過練習鞏固等式的兩條性質，并讓學生從練習中思考運用等式的性質時應注意些什么？第二部分是對等式性質的運用。通過兩個例題和兩個練習，揭示等式性質的對稱性和傳遞性，為后面學習一元一次方程和二元一次方程組作好了鋪墊。
等式的性質教學設計12
等式的性質
教學目標
1．知識與技能
通過天平演示保持平衡的幾種變換情況，讓學生初步認識等式的基本性質。
2．過程與方法
利用觀察天平保持平衡所發現的規律，能直接判斷天平發生變化后能否保持平衡。
3．情感·態度·價值觀
培養學生觀察與概括、比較與分析的能力。
教學重點和難點
重點：掌握等式的基本性質。
難點：理解并掌握等式的性質，能根據具體情境列出相應的方程。
教材分析
教材首先提出問題，引起學生的探究興趣。然后通過插圖描繪了利用天平進行試驗，探究等式基本性質的過程。這里的兩幅圖，描繪了在天平兩邊同時放上或拿走同樣的物品，天平仍然平衡。揭示了等式的基本性質
1、連環畫式的插圖，一方面提示教師可以怎樣演示，另一方面也給學生思考、感悟天平保持平衡的變化規律，提供了直觀的觀察材料。有必要指出，教具演示能使學生看到動態的過程，獲得實實在在的'真切感受。但演示過后，呈現在學生眼前的，只剩最后的結果狀態。而連環畫式的插圖，沒有實物演示那么生動，但可以保留初始狀態和結果狀態，便于學生觀察、比較前后什么變了、什么不變。
學情分析
五年級的學生對方程這塊內容是第一次正式接觸，雖然在這學期開始的作業本中有幾次方程的題出現，但對學生來說還是比較陌生的，在他們頭腦中還沒有過方程這樣的表象，所以授新課就要從學生原有的基礎開始，從他們知道的東西，如蹺蹺板到天平，然后再過渡到方程。在教學過程中還要注意把握學生的接受能力，這節課主要是通過天平的實驗，讓學生明白天平的平衡的原理從而感悟到等式的性質，為下面的解方程做準備。為了學起來容易可以讓學生自己動手。
主要教學手段
多媒體輔助教學
教學方法
啟發式、演示法、練習法、討論法
課時安排
等式的性質教學設計13
教學目標：
知識與技能：通過天平演示保持平衡的幾種變換情況，讓學生初步認識等式的基本性質。
過程與方法：利用觀察天平保持平衡所發現的規律，能直接判斷天平發生變化后能否保持平衡。
情感、態度與價值觀：培養學生觀察與概括、比較與分析的能力。
教學重點：掌握等式的基本性質。
教學難點：理解并掌握等式的性質，能根據具體情境列出相應的方程。
教學方法：啟發式教學；自主探索、觀察、歸納、合作學習新知。
教學準備：天平、茶壺、茶杯、墨水、鉛筆盒。
教學過程
一、情境導入
1．上節課咱們認識了天平，知道天平的兩邊重量完全相同時，天平才能保持平衡；并利用天平學會了等式和方程的含義：等號兩邊完全相等的式子叫等式，含有未知數的等式就是方程。
2．同學們，你們做過天平游戲嗎？這節課我們要利用天平一起來探索等式的性質。（板書課題：等式的性質）
二、互動新授
1．出示教材第64頁情境圖1第一個天平圖。
讓學生仔細觀察圖，并說一說：通過圖你知道了什么？
讓學生自主回答，學生可能會回答：天平的左邊放了一把茶壺，右邊放了兩個茶杯，天平保持平衡；這說明一個茶壺的重量與2個茶杯的重量相等。
引導學生小結：1個茶壺的重量=2個茶杯的重量。
追問：如果設一個茶壺的重量是n克，1個茶杯的重量是b克，能用式子表示嗎？
讓學生嘗試寫出：a=2b（師板書）
引導學生思考：如果在天平的兩邊同時各放上一個茶杯，天平會發生什么變化呢？
先讓學生猜一猜，學生可能會猜測出天平仍然平衡。再追問：為什么？
學生可能會說：因為兩邊加上的重量一樣多。
教師先進行實際操作天平驗證，讓學生觀察。再演示這一過程，并明確：兩邊仍然相等。
小結：實驗證明1個茶壺+1個茶杯的質量＝3個茶杯的質量。
讓學生嘗試用字母表示這個式子：a+b=2b+b（師板書）
提問：如果兩邊各放上2個茶杯，還保持平衡嗎？兩邊各放同樣的一把茶壺呢？
學生回答后，教師演示，并讓學生分別用式子表示：a+2b=2b+2ba+a=2b+a
2．出示教材第64頁圖2的第一個天平圖。
讓學生觀察現在的天平是什么樣的？（平衡）
追問：如果用a表示一個花盆的重量，用b表示一個花瓶的重量，怎樣用等式來表示這幅圖呢？生嘗試寫出：a+b=4b
再問：如果把兩邊都拿掉1個花瓶，天平還平衡嗎？先讓學生猜一猜，再演示。
學生回答：平衡。讓學生嘗試用等式表示：a+b—b=4b—b
從圖上你能知道什么？（出示教材第64頁圖2第二個天平圖）
（1個花盆和3個花瓶同樣重。）
3．通過這幾個實驗，你發現了什么？
引導小結：平衡的天平兩邊加上同樣的物品，天平還保持平衡。平衡的天平兩邊減去同樣的物品，天平還保持平衡。天平的兩邊同時加上或減去同樣的數量，天平仍然平衡。
你能用一句話來表示你的發現嗎？
引導學生歸納等式的性質1：等式兩邊加上或減去同一個數，左右兩邊仍然相等。
4．引導學生通過假設具體的數進行比較驗證。如：假設一個花瓶1千克，那么4個花瓶共4千克；一個花盆3千克，再加一個花瓶也是4千克。把兩邊同時減去一個花瓶也就是減去1千克，那么兩邊都剩下3千克。
5．猜猜：除了這樣的變化，天平仍保持平衡外，還可以怎么做能使天平保持平衡？
讓學生猜測。這里對學生可能有些難度，有些學生的猜測脫離不了等式的性質1。
如：學生猜測天平的`兩邊同時放2個、3個杯子；同時減去一把茶壺等。這時教師一定要及時強調：這都是把等式的兩邊加上或減去同一個數，并提示學生如果把等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數（O除外），會怎么樣呢？
6．出示教材第65頁圖1的第一個天平圖，讓學生觀察并說明。
（一瓶墨水的重量＝一盒鉛筆盒的重量）
引導學生用a表示墨水的重量，用6表示鉛筆盒的重量，寫出等式：a=b。
猜一猜：左邊墨水的數量擴大到原來的2倍，右邊鉛筆盒的數量也擴大到原來的2倍，天平還保持平衡嗎？
學生猜測后，教師進行實際天平操作，驗證學生的猜測。
多媒體演示變化過程，并引導學生用等式表示：2a=2b。
如果把天平的兩邊物品的數量分別擴大到原來的3倍、4倍呢？（仍然保持平衡）
7．出示教材第65頁圖2的第一個天平圖，讓學生觀察并說明知道了什么。
（2個排球的質量＝6個皮球的質量）
引導學生用a表示排球的重量，用6表示皮球的重量，寫出等式：2a=6b。
質疑：如果把兩邊的球都平均分成2份，各去掉一份，天平還能平衡嗎？
學生猜測：平衡。
教師演示，并引導學生用等式a=3b表示。
8．通過剛才的試驗，你發現了什么？
發現：平衡的天平兩邊的物品擴大到原來的相同倍數，天平仍然平衡。平衡的天平兩邊的物品都縮小到原來的幾分之一，天平仍然平衡。
你能用一句話總結一下等式的這個性質嗎？
歸納小結：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，左右兩邊仍然相等。
9．為什么等式兩邊不能除以O？學生交流，匯報：O不能做除數。
三、鞏固拓展
利用等式的性質填空
1．如果2x—5=9，那么2x=9＋（）
2．如果5=10＋x，那么5x—（）=10
3．如果3x=7，那么6x=（）
4．如果5x=15，那么x=（）
先讓學生回憶等式的性質，再自主完成填空。
四、課堂小結
這節課你學會了什么知識？有哪些收獲？（引導總結等式的性質）
等式的性質教學設計14
教學內容：蘇教版教科書第7頁的內容。
教學目的：
⑴在具體的情景中，讓學生理解等式的性質，會用等式的性質解簡單的方程，初步會用列方程解決一步計算的實際問題。
⑵在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中，讓學生經歷將情景問題抽象等式規律的過程，積累將現實問題數學化的.經驗，感受方程的思想方法及價值，發展抽象能力和推理能力。
⑶學生在數學活動的過程中，養成獨立思考、主動與他人合作交流等習慣，獲得成功的體驗，培養對數學的學習興趣。
教學流程：一、回憶導入，明確探究的目標。
⑴回憶推理。
說說等式性質1: “等式兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。”
再次推理：等式性質2——“等式兩邊同時乘或除以同一個數，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。”
⑵明確探究的目標。
教師總結，引導學生們明確探究的話題——驗證等式性質2。
二、自主探究規律。
⑴自主看圖填空。
學生自主完成第7頁例5的看圖填空并根據圖意理解規律。
⑵舉例驗證。
方法：先寫一個等式，再兩邊同時乘或除同一個數，看看還是等式嗎？
⑶小結，感知規律的應用價值。
小結：等式的性質2：“等式兩邊同時乘或除以同一個數，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。”
推想：在哪里會用到它？（解方程）
⑷學生舉例，學習解方程。
學生舉例，嘗試解方程。
在學生的介紹中，張揚用等式解方程的數學根據。
注意書寫格式；并驗算。
三、練習應用。
⑴完成練一練中的第1題。
⑵解決簡單的實際問題。
出示例6。
思路1：列方程解答。
40x＝960
x=24
思路2：用算式解答。
960÷40＝24（m）
⑶完成課堂作業。
練習二、3～4題
等式的性質教學設計15
教學內容：蘇教版教科書第1～2頁的內容。
教學目的：
⑴在具體的情景中，讓學生理解等式的性質，會用等式的性質解簡單的方程，初步會用列方程解決一步計算的實際問題。
⑵在觀察、分析、抽象、概括和交流的過程中，讓學生經歷將情景問題抽象等式規律的過程，積累將現實問題數學化的經驗，感受方程的思想方法及價值，發展抽象能力和推理能力。
⑶學生在數學活動的過程中，養成獨立思考、主動與他人合作交流等習慣，獲得成功的體驗，培養對數學的學習興趣。
教學流程：
一、談話導入，明確探究的目標。
⑴出示天平圖，增加感性認識。
出示天平圖。
讓學生說說對天平的認識；
⑵明確探究的目標。
教師總結，引導學生們明確探究的話題——等式中存在的規律；出示圖片情境。
二、自主探究規律。
⑴自主看圖填空。
學生自主完成第3頁的看圖填空。
⑵同桌交流。
交流填寫的內容，辨析答案的.正確性；交流發現的規律；引導學生理解規律。
⑶舉例驗證發現規律的正確性。
班級舉例；同桌舉例驗證。
⑷適當推理。
由等式的性質——“等式兩邊同時加上或減去同一個數，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。”進行適當的推理。
希望推理出“等式兩邊同時乘或除以同一個數，所得結果仍然是等式。這是等式的性質。”
三、規律的引用。
⑴出示方程，引發學生的求未知數的興趣。
出示上節課學生列出的部分方程x＋50＝150和2x＝200，談話：你知道x表示多少，介紹你的想法。
⑵引用規律解方程。
在學生的介紹中，張揚用等式解方程的數學根據。
⑶規范解方程的格式。
x＋50＝150
解：x＋50－50＝150－50
x＝100
⑷學習驗證答案的方法。
方法：代入法。
格式：把x＝100代入原方程，100＋50＝150，x＝100是正確的。
⑸練一練。
解方程x—30=80。
⑹全課小結，完成作業。
小結：解方程，求方程中未知數的值的過程，叫做解方程。
作業：第4頁練一練1～2。
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