第八單元 解決問題
一、教 學 目 標
1．使學生經歷從實際生活中發現問題、提出問題、解決問題的過程，學會用兩步計算解決問題。
2．感受數學在日常生活中的作用，初步形成綜合運用數學知識解決問題的能力。
二、教學內容
1．本單元的主要內容有：運用乘法（或除法）、乘法和除法兩步計算解決問題；運用乘法和加法（或減法）、除法和減法（或加法）兩步計算解決問題。
2．義務教材是在六年制六冊教學“連乘連除應用題”。現在不在分類型、分步數編排應用題，除了與計算結合進行編排外，還設立了這樣的單獨單元來教學，加強解決問題能力的培養。
解應用題：關注結構→分清條件問題（表格式）―――→算式
解決問題：關注情境→理解情節內容（圖畫式）―――→算法
三、編排特點
1．重視培養學生解決問題的能力。
關于解決問題，《標準》中第一學段的教學目標是：“能在教師引導下，從日常生活中發現并提出簡單的數學問題。了解同一問題可以有不同的解決辦法。有與同伴合作解決問題的體驗。初步學會表達解決問題的大致過程和結果。”本單元教材努力為培養學生解決問題能力創造條件。
首先，教材以學校生動活潑的內容為素材，展示實際活動中的計算問題。生活中有許多數學問題，教材從學校生活選材，使學生產生親切感，利于加深學生對數學問題的基本含義的理解。同時，讓學生運用所學的數學知識，去分析、選擇解決問題的方法，進而解決問題，使學生經歷與同伴合作解決問題的過程，并體會同一個問題可以有不同的解決辦法，感受數學知識在生活中的應用……讓學生在解決問題的過程中，學習從數學角度觀察、分析、解決實際問題，對于培養學生解決問題的能力有著重要作用。
其次，教材為學生運用數學知識解決問題提供了豐富的資源。練習二十三中16道習題，反映多方面的具體情境和問題。有小學生自己的活動事例，跑步鍛煉、游泳、貼照片、劃船；有學生身邊的生活事例，家庭產生垃圾、一座樓房里的住戶、一家人去參觀，兒童劇場的演出……還有餐飲服務、運輸、整理圖書、飼養猩猩、啄木鳥和青蛙捉害蟲等方面的具體問題。讓學生運用數學解決各方面的實際問題，讓學生了解生產、生活中有許許多多數學問題，感受數學在現實世界中有著廣泛的應用。同時，使學生多次經歷解決問題的過程，受到解決問題能力的訓練，這對于發展學生的解決問題能力同樣是十分重要的。
2．體現解決問題策略多樣化。
教材呈現給學生解決問題的內容，注意體現解決問題策略的多樣化。每一個例題展示了不同學生想出的不同解決辦法，使學生了解同一問題可以有不同的解決方法。練習中給學生提供的習題，有的情景圖中蘊涵有解決問題的多種信息，揭示了可以從不同角度觀察選擇信息，采用不同的方法解決問題。例如第3題，學生可以從先算出每層多少瓶入手解決問題，也可以從先出每摞多少瓶入手解決問題，還可以……完全取決于學生觀察思考的角度。這些習題使學生通過自己的分析、思考，尋找一種或兩種解決問題的方法，并與同學進行交流，讓學生在不斷探索與創造的氣氛中發展創新意識。
四、具體編排
1．例1。（用乘法兩步計算解決的問題。）
呈現給學生一幅廣播操表演的情境圖。圖下面小精靈明明提出“3個方陣一共有多少人？”的問題。接著，顯示出學生收集數學信息和交流解決問題的方法、結果。
教學時，提出問題后，請學生觀察收集數學信息，嘗試解決問題。在這個過程中，允許學生交流意見，以達全員參與的目的。解決問題后，請學生展示自己解決問題的方法和結果，加深學生對解決問題過程和方法的理解。
2．例2。（用除法兩步計算解決的問題。）
呈現了團體操表演的畫面，并顯示出“這個團體操有60人表演。”的信息。例1與例2素材的選取具有連續性，讓學生在運動會的情境中解決新的問題。由此，感受知識間的聯系，提高學習興趣。
畫面下面，一位小朋友提出“每個小圈有多少人？”兩位小朋友在交流解決問題的方法。教材的呈現方式，意在讓學生自主發現、提出問題，并探討解決的方法，解決問題。這里可以更放手些，讓學生自己提出數學問題。
3．練習二十三中一些習題的說明和教學建議。
第1、3～8題，是用乘法兩步計算解決的問題。教學時，放手讓學生獨立解決問題上，在多次解決問題的過程中了解數量之間的關系，積累用乘法解決實際問題的經驗。
第10、14～16題，是用除法兩步計算解決的問題。同時，這些問題也可以用乘法和除法兩步計算來解決。教學時，引導學生尋找不同的方法解決問題，并注意適時組織交流。通過交流，讓學生清楚了解每種方法中先解決什么問題，從而進一步熟悉用兩步計算解決問題的過程，提升對用兩步計算解決問題過程的理解。
第2、9題，是運用乘法和加法計算解決的問題。教學時，注意讓學生從具體情境中收集數學信息，分析數學信息數據之間的關系。在此基礎上，讓學生獨立思考確定解決問題的步驟方法，切實經歷解決問題的過程。在解決問題后，讓學生說一說解決問題的過程，并引導學生比較不同的方法，了解各種方法的特點，為學生選擇簡捷的解決問題的方法打下基礎。
第11題，是用除法和減法兩步計算解決的問題。教學時，讓學生獨立經歷解決問題的全過程，受到解決問題能力的訓練。同時，借助習題中啄木鳥、青蛙吃害蟲的事例，請學生參與“你知道還有什么鳥或小動物能捕捉害蟲嗎？”問題的交流，讓學生在交流中產生保護益鳥益蟲、保護環境的意識。
第12題，解決購物時常遇到的實際問題。教材呈現給學生兩種規格的牙刷，請學生解決的問題是“買哪一種便宜？”教學時，讓學生獨立解決問題。教師巡視發現學生用兩步計算時，點撥：想一想，怎樣判斷哪種牙刷便宜呢？使學生選用比較單價的方式獲得答案。
第13題，用乘法和除法計算解決的問題。教材呈現給學生一幅小學生在租船游湖的美麗畫面。請學生解決7個小朋友“玩1個小時，每人要花多少錢？”的問題。教學時，要讓學生獨立解決問題。解決問題后，讓學生互相說一說解決問題的過程。通過“說一說”逐步培養學生表達解決問題的大致過程和結果的能力。
此外，教學時要充分利用教材資源，開闊學生的思維空間。例如，給學生提出新的問題：“他們為什么選擇租四人船呢？”請學生討論。給學生提供解決實際問題新的機會，增加解決問題的樂趣。同時，使學生體會到生活中有許多數學問題，只要留心觀察思考，就能發現和提出數學問題。這樣，有利于培養學生用數學眼光觀察周圍事物的習慣，有利于培養學生解決問題的能力和應用意識。
五、教學建議
1．放手讓學生主動探索解決問題的方法。
學生在二年級學習時，已經會用表內乘、除法以及加、減法解決簡單兩步計算的實際問題。本單元提供的需要用兩步計算解決的實際問題，選材范圍擴大了，提供的信息數據范圍擴大了。教學時，注意調動學生的學習經驗和生活經驗，采用獨立嘗試、討論等方式，讓學生主動探索解決問題的方法。在教學過程中，讓學生已掌握的知識技能對解決新問題產生積極的影響，體現學生學習的自主性。
2．注意培養學生多角度觀察問題，解決問題的能力。
教材創設了豐富的解決問題的資源空間。教學時，立足于讓學生自主收集、理解數學信息，尋找解決問題的方法。教師注意有意識地引導學生從不同角度分析信息、尋找方法，對于學生合乎情理的闡述，給予積極鼓勵，激發學生探索的欲望，增強信心。不斷的引導和鼓勵，使學生逐步形成從多角度觀察問題的習慣，逐步提高解決問題的能力。
實踐活動：設計校園
一、教學內容
在學生學習了位置與方向、面積等有關知識的基礎上，教材安排了“設計校園”的實踐活動。通過這個活動，進一步鞏固學生已學的有關知識，讓學生應用所學的數學知識解決實際生活中的問題，培養學生收集、整理、分析信息的意識和能力，以及愛學校、愛家鄉的良好情感。教材呈現了這一實踐活動的四個環節。
1．調查本學校和其他學校都有什么。通過收集本學校和其他學校的信息，為重新設計校園打下基礎。
2．討論學校應添設什么。從兩個角度進行的，一是根據學生自己或教師的日常需要，二是與其他學校相比較。教材中具體舉了四個例子，實際教學中的討論不必限制在這些方面，可以根據本學校的實際情況及自己的需求加以分析與設計。
3．設計新校園。這里涉及到一些需要用所學數學知識和技能解決的問題--場地面積的大小，添設項目的形狀和大小等，這些都需要學生去進行實際測量。除了教材提示的乒乓球臺是否能夠放得下的問題外，還會有其他的問題。學生要綜合調查和分析的結果，以及本校園的實際情況進行設計。
4．展示各小組的設計。組織數學實踐活動除了要使學生獲得一些初步的數學實踐活動經驗，學習運用所學的知識和方法解決簡單問題，感受數學在日常生活中的作用之外，還有一個重要的目標就是使學生在合作與交流的過程中獲得良好的情感體驗。通過展示和交流，讓學生找到本組和其他組設計的優缺點，使每個學生都能夠體驗到成功。
二、教學建議
1．適時進行指導。
這個實踐活動宜采取小組合作完成的形式，教師應放手讓學生自己分析問題、收集信息、解決問題。但在活動中，教師應適時進行指導。例如，在提出了重新設計校園這個任務之后，教師可提示學生“要解決這個問題，我們需要知道哪些信息？”在學生小組討論出設計校園的計劃后，教師應指導每個小組分好記錄、測量、監督(負責總體計劃的調整、測量)的人員，然后讓學生到室外進行實地的考察，看本組的計劃是否能夠實行，如果不能實行應該怎樣進行調整。在室外活動中，教師要注意檢查每個小組是否分工明確，同時監督學生是否根據實際情況調整本組的計劃，充分體現出教師的指導作用。
2．注意評價的鼓勵性。
設計活動完成之后，請每個小組將本組的設計平面圖掛到黑板上進行展示與交流，請學生自己進行評價。例如，讓學生選出最喜歡的新校園圖，找出每幅新校園圖的優點等等。最后教師進行總結性的評價，要注意評價的鼓勵性，使每一位學生都能體驗到成功的喜悅。
第九單元 數學廣角
一、教學目標
1．使學生會借助直觀圖，利用集合的思想方法解決簡單的實際問題。
2．使學生在解決實際問題的過程中體會等量代換的思想。
二、教學內容
和前幾冊教材的思路相同，本冊教材除了在有關單元滲透相應的數學思想方法以外，還專門安排了“數學廣角”這一單元來介紹一些數學思想方法，使學生運用這些數學思想方法來解決一些簡單的實際問題或數學問題。本單元主要是結合實際，使學生初步體會集合（例1）和等量代換（例2）兩種數學思想方法。
1．集合思想是數學中最基本的思想，甚至可以說，集合理論是數學的基礎。從學生一開始學習數學，其實就已經在運用集合的思想方法了。例如，學生在學習數數時，把1個人、2朵花、3枝鉛筆用一條封閉的曲線圈起來表示，這樣表示出的數學概念更直觀、形象，給學生留下的印象更深刻。又如，我們學習過的分類思想和方法實際上就是集合理論的基礎。
本單元的例1就是借助學生熟悉的題材，滲透集合的有關思想，并利用直觀圖的方式求出兩個小組的總人數。
2．等量代換是指一個量用與它相等的量去代替，它是數學中一種基本的思想方法，也是代數思想方法的基礎。等量代換思想用等式的性質來體現就是等式的傳遞性：如果a=b，b=c，那么a=c。
例2就是通過解決一些簡單的問題，使學生初步體會等量代換的思想方法，為以后學習簡單的代數知識做準備。
三、具體編排
1． 例1。
本例首先通過統計表的方式列出參加語文小組和數學小組的學生名單，通過統計表可以看出：參加語文小組的有8人，參加數學小組的有9人。但實際上參加這兩個課外小組的總人數卻不是17人，引起學生的認知沖突。這時，教材利用直觀圖把這兩個課外小組的關系直觀地表示出來。從圖上可以很清楚地看出，有3名學生同時屬于這兩個小組，所以計算總人數時只能計算一次。
教學時，可以先讓學生根據統計表說出兩個課外小組各有多少人，再說出三（1）班共有多少人參加了這兩個課外小組。在求總人數時，學生既可以直接點數，也可以進行計算。讓學生通過討論發現：統計表中的前三位學生既參加了語文小組又參加了數學小組，所以是重復的，在計算總人數時只能計算一次。接下來，教師可以引導學生用圖示的方法表示這兩個課外小組的人員組成情況。由于學生以前沒有接觸過這種直觀圖，所以教師可以先出示一個空白圖，讓學生在不同位置填上相應的學生姓名。也可以利用多媒體軟件先分別出示兩個課外小組的集合圈，再把兩個集合圈進行合并。接下來，可以讓學生說一說圖中不同位置所表示的不同意義，如中間部分表示同時參加兩個小組的同學，左側是只參加語文小組而不參加數學小組的學生，右側是只參加數學小組而不參加語文小組的學生。最后，再讓學生列式求出參加語文小組和數學小組的共有多少人。
2． 例2。
⑴本例利用天平的原理，使學生初步體會等量代換的思想方法，為以后學習簡單的代數知識做準備。當天平平衡時，左右兩邊的物體同樣重。所以，從第一個圖中可以看出，一個西瓜重4千克，從第二個圖中可以看出，四個蘋果重1千克，讓學生思考一個西瓜和多少個蘋果同樣重。在這里還不能直接運用等量代換，需要學生首先考慮：一個西瓜和4千克砝碼同樣重，4千克砝碼和多少個蘋果同樣重呢？引導學生想出如果第二個圖中天平的右邊變成原來的4倍，左邊也要變成原來的4倍（即16個蘋果），天平才能保持平衡。
教學本例之前，首先應該向學生說明：在本例中，我們假設每個西瓜同樣重，每個蘋果同樣重。接下來，讓學生觀察前兩個圖并思考：天平保持平衡說明什么？一個西瓜和幾個蘋果同樣重？讓學生通過小組討論來尋求解決問題的方法。如果學生自己解決有困難，教師可以進行適當的提示：從第一個圖中知道一個西瓜重4千克，如果能知道多少個蘋果也重4千克，問題就可以解決了。
教學時，如果學生抽象地想像有困難，可以充分利用學具、多媒體軟件等教學輔助手段，用直觀的方式幫助學生理解，如用圓片代表西瓜，用小方塊代表砝碼，用三角形片代表蘋果，通過擺學具，可以比較容易地找出相互之間的等量關系。
⑵“做一做”，利用三種小動物在蹺蹺板上保持平衡的情境進一步鞏固等量代換思想的具體應用。要求2頭牛和多少頭羊同樣重，首先要知道2頭牛和多少頭豬同樣重，再利用豬和羊的質量關系進行等量代換。
3．關于練習二十四中一些習題的說明和建議。
第1題，首先要求學生根據不同的性質“會游泳的”和“會飛的”把這些動物進行分類，學生在分類的時候，可能不能一下子把既能游泳又能飛的放到中間位置，要引導學生明確兩個圓圈相交的部分表示什么，再進行適當的調整。
第2題，可以引導學生先把兩天進的貨中重復的部分找出來，然后直接點數，或用加減法進行計算。
第3題，如果學生抽象地想像有困難，可以讓學生先用學具擺一擺。等學生用直觀的方式解決了問題以后，再嘗試抽象地推導一下。
第4題，是等量代換思想的一種變式練習。直接比較1只雞和1只鴨誰重一些比較困難，可以轉化為2只雞和2只鴨，或4只雞和4只鴨的比較。
第5題，是比較抽象的等量代換練習，實際上是二元、三元一次方程組的一種直觀表示法。第1小題，把第一個等式中的△用□+□+□替代，就變成了□+□+□+□=240，所以□=60，而△=□+□+□,所以等于180。第2小題，直接用等量代換的方法來解決比較困難，可以先把三個等式的左邊相加，右邊相加，可得到2×（○＋△＋□）＝200，所以○＋△＋□＝100，然后再利用等量代換，依次求出○、△、□的值。
四、教學建議
適當把握教學要求。
集合和等量代換的理論都是比較系統、抽象的數學思想方法，在這里，只是讓學生通過生活中容易理解的題材初步體會這兩種思想方法，為后繼學習打下必要的基礎，學生只要能夠用自己的方法解決問題就可以了，教學時老師不要使用集合、集合的元素、基數、交集、并集、等量代換等數學化的語言進行描述。