全都是“0”惹的禍
甘肅寧縣城關(guān)小學(xué) 張朝陽(yáng) 郵編：745200
【關(guān)鍵詞】0、自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、最小的一位數(shù)、可能性
在我校最近的考試中，一道判斷題引起了關(guān)于最小一位數(shù)的爭(zhēng)議，一種觀點(diǎn)認(rèn)為0是最小的一位數(shù)，一種觀點(diǎn)認(rèn)為1是最小的一位數(shù)。
觀點(diǎn)一論者拿出某雜志上刊登的某省教學(xué)研討活動(dòng)簡(jiǎn)報(bào)，其中有某中學(xué)校長(zhǎng)和與會(huì)代表的座談紀(jì)要，一代表便提出這一問(wèn)題就教于該校長(zhǎng)，校長(zhǎng)解釋道“原來(lái)一直認(rèn)為1是最小的一位數(shù)，現(xiàn)在的教材把0也歸到了自然數(shù)之中，那最小的一位數(shù)也理應(yīng)改為0. ”。
筆者就是觀點(diǎn)二的代表，盡管有人提到闡發(fā)第一種觀點(diǎn)的是校長(zhǎng)、是權(quán)威，應(yīng)以權(quán)威觀點(diǎn)為準(zhǔn)。請(qǐng)問(wèn)我們是要真理，還是要權(quán)威？再者，校長(zhǎng)在職務(wù)上有權(quán)威，不能斷定他在學(xué)術(shù)上也是權(quán)威，況且他也是即興解答、未作深思。
我之所以認(rèn)為“1是最小的一位數(shù)”，理由如下：
理由一：0表示沒(méi)有，那就單獨(dú)的0而言，就不含有數(shù)位，所以，0 根本就不能稱為一位數(shù)。
理由二：如果0是最小的一位數(shù)，那么我們便可以認(rèn)為00是最小的兩位數(shù)，000是最小的三位數(shù)……這樣的結(jié)論有價(jià)值嗎？
理由三：在整數(shù)范圍內(nèi)，0 只有放在非0數(shù)字右面才占數(shù)位，這是一個(gè)不爭(zhēng)的公理。如240－210＝？結(jié)果不能寫(xiě)成030一樣，因?yàn)樽钭竺娴?不占數(shù)位，就是寫(xiě)成“030”它也是兩位數(shù)。而85－85＝？的結(jié)果是一個(gè)也沒(méi)有，本可以什么都不寫(xiě)，但別人會(huì)認(rèn)為你沒(méi)有表態(tài)，為了將沒(méi)有表態(tài)和沒(méi)有東西進(jìn)行區(qū)別才有了“0”這個(gè)特殊的符號(hào)，單獨(dú)的“0”不在非0數(shù)字之右，當(dāng)然也不占數(shù)位了，不占數(shù)位何來(lái)位數(shù)？很顯然，創(chuàng)造“0”的人是把“0”歸到數(shù)的家族里面了，現(xiàn)在也承認(rèn)它是自然數(shù)了，但并沒(méi)有肯定凡數(shù)必有數(shù)位。因此，只有將“0”放在“1--9”這些有實(shí)際意義的數(shù)字之后組成新的數(shù)時(shí)才占數(shù)位，此時(shí)的占位是為了確立其高位非0數(shù)字的數(shù)位。
理由四: 數(shù)位是數(shù)量的載體，用來(lái)承載有量的數(shù)，擁有數(shù)位的首先必須是有量的客觀存在。存在即“有”，是可物化的，除0外的其他自然數(shù)都可以與具體的物體建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，都可具象化，唯0無(wú)法和物體建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，從這個(gè)意義上說(shuō)‘0只是一個(gè)純粹的概念而已，有數(shù)無(wú)量，不具有客觀存在’，也就是說(shuō)‘單獨(dú)的0根本不需要數(shù)位之舟來(lái)承載’，這是決定0單獨(dú)不占數(shù)位的本質(zhì)。
理由五：若單獨(dú)的0是有數(shù)位的，為何不能和其他自然數(shù)發(fā)揮同等的作用，卻要在很多情況下剝奪其參與權(quán)利？“0除外”的情況還少嗎？在除數(shù)中--0除外；在分母中--0除外；在比的后項(xiàng)中--0除外；在商不變定律中--0除外；在分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)中--0除外；在比的基本性質(zhì)中--0除外；在倍數(shù)、因數(shù)中 --0除外……這都是因?yàn)?的一無(wú)所有而在很多情況下沒(méi)有意義。
理由六：百位的計(jì)數(shù)單位是最小的三位數(shù)--100，十位的計(jì)數(shù)單位是最小的二位數(shù)--10，個(gè)位的計(jì)數(shù)單位是最小的一位數(shù)--1。除0以外的自然數(shù)都是由這些基本單元累積而成，如果承認(rèn)0占有數(shù)位、最小的一位數(shù)是0，就要承認(rèn)個(gè)位的計(jì)數(shù)單位是0，那么請(qǐng)問(wèn)：一位數(shù)4表示幾個(gè)0呢？尷尬隨之而來(lái)。
理由七：正因?yàn)樽钚〉囊晃粩?shù)是1，所以有這樣的規(guī)律：一位數(shù)共有9個(gè)，不含0；二位數(shù)共有90個(gè)，不含00、01、02、03、04、05、06、07、08、09；三位數(shù)共有900個(gè)……一個(gè)最大的兩位數(shù)加上一個(gè)最小的一位數(shù)得到一個(gè)最小的三位數(shù)，一個(gè)最大的三位數(shù)加上一個(gè)最小的一位數(shù)得到一個(gè)最小的四位數(shù)……如果0 是最小的一位數(shù)，這些規(guī)律便毫無(wú)意義。
這里我要提醒大家注意區(qū)分“數(shù)與號(hào)碼”、“數(shù)與溫度”、“數(shù)與幾位數(shù)”，不是所有的數(shù)都可以歸到幾位數(shù)之中。
那么，最小的一位數(shù)能否進(jìn)行人為規(guī)定呢？我認(rèn)為不能。人為規(guī)定的都是比較獨(dú)立的事件，里面不用講道理，只是為了讓大家統(tǒng)一認(rèn)識(shí)、便于交流，而最小的一位數(shù)是誰(shuí)，牽扯到各種相關(guān)知識(shí)、里面存在太多的道理，對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的內(nèi)涵、外延、從屬等的定性，會(huì)牽動(dòng)與之關(guān)聯(lián)的每一根神經(jīng)，在處理時(shí)一定要用科學(xué)的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度慎重對(duì)待，切不可過(guò)于隨便。若處理不當(dāng)，難免在許多情境中自相矛盾，很難自圓其說(shuō)，其結(jié)果是造成學(xué)術(shù)上的模糊，教學(xué)中的混亂。
以上理由能讓你接受“1是最小的一位數(shù)”這一觀點(diǎn)嗎？我再次提醒大家在學(xué)術(shù)問(wèn)題上不要迷信領(lǐng)導(dǎo)權(quán)威，就是學(xué)術(shù)權(quán)威也偶有出錯(cuò)的時(shí)候。
下面咱們?cè)倩氐綄?duì)那道判斷題的探討，題目是“三位數(shù)乘一位數(shù)，積可能是三位數(shù)，也可能是四位數(shù)。”對(duì)于該題的判斷也形成了兩種意見(jiàn)，持“最小的一位數(shù)是1”觀點(diǎn)的教師認(rèn)為該題是對(duì)的;持“最小的一位數(shù)是0”觀點(diǎn)的教師認(rèn)為該題將可能的結(jié)果沒(méi)有列舉完，還可能出現(xiàn)第三種結(jié)果，即當(dāng)這個(gè)一位數(shù)是0時(shí)，積是一位數(shù)0，該題應(yīng)判錯(cuò)。
我認(rèn)為對(duì)于此題的判斷與“0 是不是一位數(shù)”的爭(zhēng)議無(wú)關(guān)，不管0 是不是一位數(shù)，該題都應(yīng)判對(duì)。請(qǐng)你再將題目細(xì)讀幾遍，該句話中兩次出現(xiàn)“可能”這一詞語(yǔ)，應(yīng)該說(shuō)該題是對(duì)乘積位數(shù)可能性作出的判斷，是考察可能性的題目。三位數(shù)乘一位數(shù)，不管積有沒(méi)有其它可能，但積是三位數(shù)或四位數(shù)的可能性是勿庸置疑的，原題的判定何錯(cuò)之有？請(qǐng)與以下事例進(jìn)行類(lèi)比，“盒中有紅、黃、藍(lán)三種球，從中摸出一個(gè)，可能是什么顏色的球？”生1說(shuō)：“可能是紅球”，生2說(shuō)：“可能是紅球，也可能是黃球。”你能說(shuō)他們的判斷是錯(cuò)的嗎？總不能因?yàn)橛械谌N可能，就否定前兩種可能性的存在吧？因?yàn)轭}目并沒(méi)有要求將所有的可能都列舉出來(lái)呀！何況該生用“可能是……也可能是……”的措辭判定為可能事件，并沒(méi)有用“不是……就是……”判定無(wú)第三種可能，更沒(méi)有用“一定”判定為必然事件。原題亦然。
在這里我還想闡述一下0在奇數(shù)、偶數(shù)中的角色問(wèn)題。現(xiàn)在的教輔資料和老師們普遍把0歸到了偶數(shù)之中，理由是0能被2整除。誠(chéng)然，對(duì)偶數(shù)的定義是：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)。首先讓我們就研究奇數(shù)、偶數(shù)的初衷做些推敲，奇數(shù)、偶數(shù)等同于生活中常說(shuō)的單數(shù)、雙數(shù)，是以研究個(gè)體能否完全配對(duì)為出發(fā)點(diǎn)的，所以定義中所說(shuō)的“數(shù)”應(yīng)該是指可以物化的、非0的數(shù)。試想：0既然一個(gè)也沒(méi)有，也就夠不上個(gè)體，沒(méi)有個(gè)體，如何成對(duì)？奇數(shù)、偶數(shù)都應(yīng)該是個(gè)體的實(shí)集而絕非空集；我們知道任意兩個(gè)奇數(shù)可以合并成一個(gè)偶數(shù)，而最小的奇數(shù)是“1”，至少要拿出兩個(gè)1方可配成一對(duì)，顯然，“一對(duì)”便是偶數(shù)的基本單元，無(wú)疑最小的偶數(shù)是2。個(gè)體在此中是何等的重要，有了個(gè)體的遞增，才有了奇偶鏈的交替延伸，相反，有了個(gè)體的遞減，才有了奇偶鏈的交替消減；我們還知道，偶數(shù)連續(xù)除以2最終可以得到一個(gè)奇數(shù)，而0呢？明知沒(méi)有，卻硬說(shuō)它是單、是雙，抑或是奇、是偶，豈不是上演了一出“皇帝的新裝”？所以我認(rèn)為：0既不是奇數(shù)，也不是偶數(shù)。
但愿拙論能引起大家的爭(zhēng)鳴，澄清這些懸而未決的焦點(diǎn)問(wèn)題，統(tǒng)一認(rèn)識(shí)、規(guī)范教學(xué)，以免給學(xué)生造成誤導(dǎo)。