基本初等函數的導數公式及導數運算法則測試題
一、選擇題
1．函數y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數等于()
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] D
[解析] y＝[(x＋1)2](x－1)＋(x＋1)2(x－1)
＝2(x＋1)(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
y|x＝1＝4.
2．若對任意xR，f(x)＝4x3，f(1)＝－1，則f(x)＝()
A．x4 B．x4－2
C．4x3－5 D．x4＋2
[答案] B
[解析] ∵f(x)＝4x3.f(x)＝x4＋c，又f(1)＝－1
1＋c＝－1，c＝－2，f(x)＝x4－2.
3．設函數f(x)＝xm＋ax的導數為f(x)＝2x＋1，則數列{1f(n)}(nN*)的前n項和是()
A.nn＋1 B.n＋2n＋1
C.nn－1 D.n＋1n
[答案] A
[解析] ∵f(x)＝xm＋ax的導數為f(x)＝2x＋1，
m＝2，a＝1，f(x)＝x2＋x，
即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，
數列{1f(n)}(nN*)的前n項和為：
Sn＝112＋123＋134＋…＋1n(n＋1)
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1
＝1－1n＋1＝nn＋1，
故選A.
4．二次函數y＝f(x)的圖象過原點，且它的導函數y＝f(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線，則函數y＝f(x)的圖象的頂點在()
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] C
[解析] 由題意可設f(x)＝ax2＋bx，f(x)＝2ax＋b，由于f(x)的圖象是過第一、二、三象限的一條直線，故2a0，b0，則f(x)＝ax＋b2a2－b24a，
頂點－b2a，－b24a在第三象限，故選C.
5．函數y＝(2＋x3)2的導數為()
A．6x5＋12x2 B．4＋2x3
C．2(2＋x3)2 D．2(2＋x3)3x
[答案] A
[解析] ∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，
y＝6x5＋12x2.
6．(2010江西文，4)若函數f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f(1)＝2，則f(－1)＝()
A．－1 B．－2
C．2 D．0
[答案] B
[解析] 本題考查函數知識，求導運算及整體代換的思想，f(x)＝4ax3＋2bx，f(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f(1)＝4a＋2b，f(－1)＝－f(1)＝－2
要善于觀察，故選B.
7．設函數f(x)＝(1－2x3)10，則f(1)＝()
A．0 B．－1
C．－60 D．60
[答案] D
[解析] ∵f(x)＝10(1－2x3)9(1－2x3)＝10(1－2x3)9(－6x2)＝－60x2(1－2x3)9，f(1)＝60.
8．函數y＝sin2x－cos2x的導數是()
A．22cos2x－ B．cos2x－sin2x
C．sin2x＋cos2x D．22cos2x＋4
[答案] A
[解析] y＝(sin2x－cos2x)＝(sin2x)－(cos2x)
＝2cos2x＋2sin2x＝22cos2x－4.
9．(2010高二濰坊檢測)已知曲線y＝x24－3lnx的一條切線的斜率為12，則切點的橫坐標為()
A．3 B．2
C．1 D.12
[答案] A
[解析] 由f(x)＝x2－3x＝12得x＝3.
10．設函數f(x)是R上以5為周期的可導偶函數，則曲線y＝f(x)在x＝5處的.切線的斜率為()
A．－15 B．0
C.15 D．5
[答案] B
[解析] 由題設可知f(x＋5)＝f(x)
f(x＋5)＝f(x)，f(5)＝f(0)
又f(－x)＝f(x)，f(－x)(－1)＝f(x)
即f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0
故f(5)＝f(0)＝0.故應選B.
二、填空題
11．若f(x)＝x，(x)＝1＋sin2x，則f[(x)]＝_______，[f(x)]＝________.
[答案] 2sinx＋4，1＋sin2x
[解析] f[(x)]＝1＋sin2x＝(sinx＋cosx)2
＝|sinx＋cosx|＝2sinx＋4.
[f(x)]＝1＋sin2x.
12．設函數f(x)＝cos(3x＋)(0＜)，若f(x)＋f(x)是奇函數，則＝________.
[答案] 6
[解析] f(x)＝－3sin(3x＋)，
f(x)＋f(x)＝cos(3x＋)－3sin(3x＋)
＝2sin3x＋＋56.
若f(x)＋f(x)為奇函數，則f(0)＋f(0)＝0，
即0＝2sin＋56，＋56＝kZ)．
又∵(0，)，6.
13．函數y＝(1＋2x2)8的導數為________．
[答案] 32x(1＋2x2)7
[解析] 令u＝1＋2x2，則y＝u8，
yx＝yuux＝8u74x＝8(1＋2x2)74x
＝32x(1＋2x2)7.
14．函數y＝x1＋x2的導數為________．
[答案] (1＋2x2)1＋x21＋x2
[解析] y＝(x1＋x2)＝x1＋x2＋x(1＋x2)＝1＋x2＋x21＋x2＝(1＋2x2)1＋x21＋x2.
三、解答題
15．求下列函數的導數：
(1)y＝xsin2x；(2)y＝ln(x＋1＋x2)；
(3)y＝ex＋1ex－1；(4)y＝x＋cosxx＋sinx.
[解析] (1)y＝(x)sin2x＋x(sin2x)
＝sin2x＋x2sinx(sinx)＝sin2x＋xsin2x.
(2)y＝1x＋1＋x2(x＋1＋x2)
＝1x＋1＋x2(1＋x1＋x2)＝11＋x2 .
(3)y＝(ex＋1)(ex－1)－(ex＋1)(ex－1)(ex－1)2＝－2ex(ex－1)2 .
(4)y＝(x＋cosx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(x＋sinx)(x＋sinx)2
＝(1－sinx)(x＋sinx)－(x＋cosx)(1＋cosx)(x＋sinx)2
＝－xcosx－xsinx＋sinx－cosx－1(x＋sinx)2.
16．求下列函數的導數：
(1)y＝cos2(x2－x)； (2)y＝cosxsin3x；
(3)y＝xloga(x2＋x－1)； (4)y＝log2x－1x＋1.
[解析] (1)y＝[cos2(x2－x)]
＝2cos(x2－x)[cos(x2－x)]
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](x2－x)
＝2cos(x2－x)[－sin(x2－x)](2x－1)
＝(1－2x)sin2(x2－x)．
(2)y＝(cosxsin3x)＝(cosx)sin3x＋cosx(sin3x)
＝－sinxsin3x＋3cosxcos3x＝3cosxcos3x－sinxsin3x.
(3)y＝loga(x2＋x－1)＋x1x2＋x－1logae(x2＋x－1)＝loga(x2＋x－1)＋2x2＋xx2＋x－1logae.
(4)y＝x＋1x－1x－1x＋1log2e＝x＋1x－1log2ex＋1－x＋1(x＋1)2
＝2log2ex2－1.
17．設f(x)＝2sinx1＋x2，如果f(x)＝2(1＋x2)2g(x)，求g(x)．
[解析] ∵f(x)＝2cosx(1＋x2)－2sinx2x(1＋x2)2
＝2(1＋x2)2[(1＋x2)cosx－2xsinx]，
又f(x)＝2(1＋x2)2g(x)．
g(x)＝(1＋x2)cosx－2xsinx.
18．求下列函數的導數：(其中f(x)是可導函數)
(1)y＝f1x；(2)y＝f(x2＋1)．
[解析] (1)解法1：設y＝f(u)，u＝1x，則yx＝yuux＝f(u)－1x2＝－1x2f1x.
解法2：y＝f1x＝f1x1x＝－1x2f1x.
(2)解法1：設y＝f(u)，u＝v，v＝x2＋1，
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